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1、.线性代数复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵与的乘积有意义,则必须满足的条件是。2.设又,问。3.设与都是级方阵,计算,,。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。(注意:任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和)5.设,,,计算。(特别地,若为字母向量时也应该会表达)6.设矩阵与都有意义,问与的关系为;又若与为同级方阵,问与的关系为。7.设是一个列向量,是一个数,分析与的意义,两者是否相等?答:。8.设向量,则,。9.设矩阵,则。10.设矩阵,则。11.设准对角矩阵,是多项式,则。12.设矩阵,则
2、。13.设是矩阵的伴随矩阵,则14.设是阶方阵的伴随矩阵,,则。15.矩阵的秩为__________,的伴随矩阵=。16.设是3阶可逆方阵,是矩阵且,则。......17.设,是矩阵且,则。18.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件(越多越好)。19.设矩阵,试写出行列式中-元的代数余子式,中第三行元素的代数余子式之和=。20.设是矩阵且,则的等价标准形为。21.设,则的等价标准形为。22.设,,则。23.设,则的等价标准形为。24.设,则。25.。26.已知矩阵满足,则。27.设阶矩阵可逆,则。28.试写出矩阵
3、秩的定义。29.试写出阶行列式按第一列展开的定义。30.已知行列式中第三列元素依次为-1,2,0,1,其代数余子式分别为5,-3,-7,-4,则=___。31.已知为同阶方阵,且可逆,若,则(是整数)。32.设均为阶方阵,且,则。33.设均为阶方阵,且,则。34.若,都是阶方阵,,,则。35.设,则______。36.设是阶方阵,,则。37.设是阶可逆方阵,则。38.设是阶方阵,,则.39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件。......40.设分块矩阵,则。41.已知行列式中第三列元素依次为-1,2,0,1,
4、其余子式分别为5,-3,-7,-4,则=___。二、判别说理题(错误的请举例说明,正确的请证明)1.设矩阵满足,则或。2.矩阵乘法适合交换律。3.设是级方阵,则。4.设是同级非零方阵,若,则。5.设是方程组的解,则是的解,是的解。6.设是线性方程组的解,则是的解。7.设是线性方程组的解,则是的解,是任意常数。8.矩阵可逆,且其逆为其本身。类似有,同样问题。9.设非零矩阵满足,则。10.若一行列式为零,则该行列式中必有两行或两列称比例。(或必有一行或一列为零)11.若方阵可逆,则其伴随矩阵也可逆。12.阶方阵满足
5、,则可逆。13.若,则必有。14.设是阶方阵,且,则。15.设,则或。16.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为,则中必有某一个阶子式不等于零。18.若阶方阵的秩,则其伴随阵。19.设是阶矩阵,则。20.设矩阵满足,且可逆,则。三、解答题1.求,,,。......2.已知矩阵,,计算,。3.设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求。4.求。5.已知,求。6.设,求。7.设。试用矩阵分块方法求。8.用两种方法求下列矩阵的逆.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积10.写出下列矩阵的等价标准形,
6、(对讨论)11.设矩阵的秩为2,求,。12.求解线性方程组(1);(2)。......13.设,求。14.设,,求。15.设是阶方阵,且,求,其中是的伴随矩阵。16.教材中的例题和不带*的习题。第二章线性方程组一、填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件。2.设是阶方阵,且秩,则齐次线性方程组的基础解系中含个解向量。3.方程组的基础解系中含个解向量。4.设是元齐次线性方程组的基础解系,则秩()=。5.矩阵的秩为,则的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。6.若方程组有非零解,则。7.设是
7、阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有。8.设是阶方阵,,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是。9.,,线性相关,则的值为__________。10.若向量与线性相关,则的取值为。11.设向量组,,,则向量组的秩是。12.设向量组I:的秩为,向量组II:秩为,且向量组I能由向量组II线性表出,则与的大小关系是_________________。13.设向量组I:线性无关,而都能由I线性表出,则秩()=。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定。二、判别说理题
8、(错误的请举例说明,正确的请证明)1.元线性方程组当时有无穷多解。......2.设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。3.对于线性方程组(这里为n阶方阵),如果该方程组有解,则必有。4.维向量组与维向量组秩相等,则这两个向量组必能互相线性表出。5.若一个向量组线性相关,则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组线性相关,那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性