【数学与应用数学】论文——仓库地址选择的图论模型

【数学与应用数学】论文——仓库地址选择的图论模型

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1、第一期(2002年10月)韶关学院学生数学建模论文集No.1仓库地址选择的图论模型[摘要]:仓库地址的选择是一个最优化问题,因此我们利用“图论的最短路”问题的思想,对模型作出了简化,提出了一般的解法,另外我们还了简单明了的物理模拟的方法确定了总费用最少的位置.对问题1,我们确定了建立仓库的最优位置在E点,运输的总费用最少为=6593元;对问题2,最优位置也在E点,运输的总费用与建库费之和最少为=13213元.本文最后对所建模型的优缺点进行了分析.关键词:仓库选址;最短路;最少费用1问题的提出某乡有十二村A,B,C、、、、、、L,如图,两村连线上数字表示两村间的距离(单位:千

2、米).各村上缴粮食数量依次为70、80、60、30、65、100、20、40、30、45、35、20吨.现计划在村内或道路上建一仓库来储存这些粮食.现要求如下:(1),若整个公路上的运费为1.5元/吨*千米,确定建立仓库的位置,使运输的总费用最少.(2),若公路BF、FE、ED、DG、GH上的运费为2元/吨*千米,而其余公路上的运费为1.5元/吨*千米,各村的建库费分别为5100、5000、5200、5150、5400、5300、5200、5250、5400、5110、5010、5120元,而公路上的建库费与最近的村相同.设计确定使总费用之和最少的仓库位置的方案.C10I8

3、343A5BD3G2HJ3L6555F2E8K考虑的一般都为费用问题,如何建仓库才能使农民较容易上缴,不用花那么多费用上缴必须的粮食,为农民省点钱,这样农民也不会抱怨太大,所以考虑在什么位置建仓库,才能使各个村去缴粮食的路程最短,这样才能减少运费,使所有村上缴粮食的总费用最少,有时还要考虑建立仓库的费用.本问题的实质就是用图论的方法,在图中找一个位置建库,求出各村到建库点的最短路,并找出使总费用最少的建库点,显然这是一个最短路问题,图论中找最短路的方法很多,我们可以把几种方法结合起来,就可简单地找出最短路.,使得运输粮食的总费用最少.2模型的假设(1)不考虑在各村建的仓库的

4、经济寿命期相同.(2)假设各村之间可以随意经过.(3)假设建库费仅指建仓库的原材料费.(4)不考虑各村之间可以随意经过.3符号约定:从A村到A村的最短路距离.25第一期(2002年10月)韶关学院学生数学建模论文集No.1:各村上缴的粮食量.(i=1…12):分别表示十二各村A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L.C:整个公路上的运费(1.5元/吨千米).:从A村到A村的最少公路运费.(千米).:各村的建库费.:运输粮食的总费用.W:建库费也与总运费的总和.1模型的建立与求解4.1如果整个公路的运费相同,则确定建库位置,使总运费最少.对此问题,我们采用分析法建立数学

5、模型,粮食运输的总费用应等于村(i=1…11)到村粮食运费运输的费用之和.而村到村的粮食运费应该等于村到村的距离,村上缴的粮食数量和每吨千米的运费C的乘积.故此问题的目标函数为:min(j=1…12)根据上面的表达式可知,因为C,均为常数,只有为变量,所以要使运输粮食的总费用最少,必须使村到村的距离最短,故我们现在要找最短路,由于本题的图形是比较简单的,所以我们采用了人工与计算机相结合的方法,寻找各个村到选定村的最短路.通过对它们比较分析,我们找到了运输粮食的最少费用为,同时选出了需要最少运费的位置在E点及相应的路线.找最短路的算法如下:(1)先定点,找出其他十一个点,…到

6、的最短路,,….(2)根据运输粮食的总费用的表达式算出其他十一个点到点的运费之和.(3)同理,算出到点,…的运费分别是,,…(4)对,,,…进行比较,找出运费最少的,即为运输粮食的总费用的最优解现在已经确定了建立仓库的位置在E点,运输的总费用(单位:元)最少为25第一期(2002年10月)韶关学院学生数学建模论文集No.1各个点到点E()的最短线如下图:(假如E村(=0)的粮食运费为零)CI33G2J5BD4LA55H53F2E8K由图可知各个点到点的最短距离(单位:千米)分别如下=12,=7,=8,=5,=2,=8=10,=14,=13,=8,=16图中边的赋权表示两个村

7、之间的距离.现设在任意两个村,之间建仓库,它们需要上缴的粮食数量分别为吨,如图xy1y2L设仓库位置距的距离为x千米,两村的距离L为千米,则两村上缴粮食的总运费为:w=+=由上式可得当时,x=0,W达到最小值CL(在点)当时,x=L时(在点),W达到最小值当时,x取任意值,W都为CL,故可取在两个端点由上可知,无论什么情况,仓库都没有必要建在公路上,所以不用考虑它的总费用.只在村内建仓库就可以了.上述已经证明了,只在村内建仓库,所以我们还可以采用物理模拟法解此问题.如图所示.25第一期(2002年10月)韶关学院学

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