【数学与应用数学】论文——仓库地址选择的图论模型

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1、第一期（2002年10月）韶关学院学生数学建模论文集No.1仓库地址选择的图论模型[摘要]:仓库地址的选择是一个最优化问题,因此我们利用“图论的最短路”问题的思想，对模型作出了简化，提出了一般的解法，另外我们还了简单明了的物理模拟的方法确定了总费用最少的位置.对问题1，我们确定了建立仓库的最优位置在E点，运输的总费用最少为=6593元；对问题2，最优位置也在E点，运输的总费用与建库费之和最少为=13213元.本文最后对所建模型的优缺点进行了分析.关键词：仓库选址；最短路；最少费用1问题的提出某乡有十二村A，B，C、、、、、、L，如图，两村连线上数字表示两村间的距离（单位：千

2、米）.各村上缴粮食数量依次为70、80、60、30、65、100、20、40、30、45、35、20吨.现计划在村内或道路上建一仓库来储存这些粮食.现要求如下：（1），若整个公路上的运费为1.5元/吨*千米，确定建立仓库的位置，使运输的总费用最少.（2），若公路BF、FE、ED、DG、GH上的运费为2元/吨*千米，而其余公路上的运费为1.5元/吨*千米，各村的建库费分别为5100、5000、5200、5150、5400、5300、5200、5250、5400、5110、5010、5120元，而公路上的建库费与最近的村相同.设计确定使总费用之和最少的仓库位置的方案.C10I8

3、343A5BD3G2HJ3L6555F2E8K考虑的一般都为费用问题，如何建仓库才能使农民较容易上缴，不用花那么多费用上缴必须的粮食，为农民省点钱，这样农民也不会抱怨太大，所以考虑在什么位置建仓库，才能使各个村去缴粮食的路程最短，这样才能减少运费，使所有村上缴粮食的总费用最少，有时还要考虑建立仓库的费用.本问题的实质就是用图论的方法，在图中找一个位置建库，求出各村到建库点的最短路，并找出使总费用最少的建库点，显然这是一个最短路问题，图论中找最短路的方法很多，我们可以把几种方法结合起来，就可简单地找出最短路.，使得运输粮食的总费用最少.2模型的假设（1）不考虑在各村建的仓库的

4、经济寿命期相同.（2）假设各村之间可以随意经过.（3）假设建库费仅指建仓库的原材料费.（4）不考虑各村之间可以随意经过.3符号约定：从A村到A村的最短路距离.25第一期（2002年10月）韶关学院学生数学建模论文集No.1：各村上缴的粮食量.（i=1…12）：分别表示十二各村A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L.C：整个公路上的运费（1.5元/吨千米）.：从A村到A村的最少公路运费.（千米）.：各村的建库费.：运输粮食的总费用.W：建库费也与总运费的总和.1模型的建立与求解4.1如果整个公路的运费相同，则确定建库位置，使总运费最少.对此问题，我们采用分析法建立数学

5、模型，粮食运输的总费用应等于村（i=1…11）到村粮食运费运输的费用之和.而村到村的粮食运费应该等于村到村的距离，村上缴的粮食数量和每吨千米的运费C的乘积.故此问题的目标函数为：min（j=1…12）根据上面的表达式可知，因为C,均为常数，只有为变量，所以要使运输粮食的总费用最少，必须使村到村的距离最短，故我们现在要找最短路，由于本题的图形是比较简单的，所以我们采用了人工与计算机相结合的方法，寻找各个村到选定村的最短路.通过对它们比较分析，我们找到了运输粮食的最少费用为，同时选出了需要最少运费的位置在E点及相应的路线.找最短路的算法如下：（1）先定点，找出其他十一个点，…到

6、的最短路,,….（2）根据运输粮食的总费用的表达式算出其他十一个点到点的运费之和.（3）同理，算出到点，…的运费分别是,,…（4）对,,,…进行比较，找出运费最少的，即为运输粮食的总费用的最优解现在已经确定了建立仓库的位置在E点，运输的总费用（单位：元）最少为25第一期（2002年10月）韶关学院学生数学建模论文集No.1各个点到点E（）的最短线如下图：（假如E村（=0）的粮食运费为零）CI33G2J5BD4LA55H53F2E8K由图可知各个点到点的最短距离（单位：千米）分别如下=12，=7，=8，=5，=2，=8=10，=14，=13，=8，=16图中边的赋权表示两个村

7、之间的距离.现设在任意两个村，之间建仓库，它们需要上缴的粮食数量分别为吨，如图xy1y2L设仓库位置距的距离为x千米，两村的距离L为千米，则两村上缴粮食的总运费为：w=+=由上式可得当时，x=0，W达到最小值CL（在点）当时，x=L时（在点），W达到最小值当时，x取任意值，W都为CL，故可取在两个端点由上可知，无论什么情况，仓库都没有必要建在公路上，所以不用考虑它的总费用.只在村内建仓库就可以了.上述已经证明了，只在村内建仓库，所以我们还可以采用物理模拟法解此问题.如图所示.25第一期（2002年10月）韶关学院学