二阶常系数齐次线性方程的标准形式

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1、二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式10.5二阶常系数线性微分方程10.5.1二阶常系数齐次线性微分方程及其解法和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复

2、数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3例.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.10.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法设非齐次方程特解为代入

3、原方程整理得类型1.型综上讨论解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程的通解为例5解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程的通解为例6例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得特别地方

4、法1：方法2：见书P382解对应齐次方程通解代入原方程求得原方程通解为例7解对应齐次方程通解代入原方程求得例8原方程通解为例6解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为代入所给方程,有于是得所给方程的通解是例7解对应齐次方程的特征方程为解得于是对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为于是,得所给方程的通解是代入所给方程,有例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为

5、为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为小结：1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(待定系数法求特解)思考题1.求微分方程的通解.2.写出微分方程的待定特解的形式.3.写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答令则特征根通解思考题解答2.设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）思考题解答则所求特解为特征根设的特解为3.原方程可化为设的特解为思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设