概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

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1、概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X的分布律，并求E(X)．Haveagoodtime解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X的所有可能取值为1，4，有13P(X1)，P(X4)，441313从而E(X)14．4442．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y的分布律，并求E(Y)．解：本题的随机试验属于古典概型．Y的所有可能取值为1，4，样本空间由13个字母组成

2、，即共有13个样本点，则112P(Y1)，P(Y4)，131311249从而E(Y)14．1313133．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、4.8元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X(元)，则X的所有可能取值为6，4.8，4，2，由题设可知X的分布律为X64.842P0.60.20.10.1则E(X)60.64.80.240.120.15.16(元)．14．设随机变量X具有分布：P(Xk)，k1,2,3,4,5，522求E(X)，E(X)

3、及E(X2)．1解：E(X)(12345)3，512122222E(X)(12345)11，5222E(X2)E(X4X4)E(X)4E(X)427．kk215．设离散型随机变量X的分布列为P(X(1))，k1,2,，kk!2问X是否有数学期望．kk211解：因为(1)k发散，k1k2k1k所以X的数学期望不存在．6．设随机变量X具有密度函数22cosx,x,f(x)220,其他．求E(X)及D(X)．2解：因为xcosx在[,]上为奇函数，222所以E(X)xf(x)

4、dx2xcos2xdx0，22222221E(X)xf(x)dx2xcosxdx，12222221故D(X)E(X)[E(X)]．1227．设随机变量X具有密度函数x,0x1,f(x)2x,1x2,0,其他．求E(X)及D(X)．122解：E(X)xf(x)dx0xdx1x(2x)dx1，1272232E(X)xf(x)dxxdxx(2x)dx，0162221D(X)E(X)[E(X)]．6118．设随机变量X在(,)上服从均匀分布，求Y

5、sin(X)的数学期望与方差．22解：由题可知X的密度函数为111,x,f(x)220,其他．1则E(Y)E[sin(X)]sinxf(x)dx2sinx1dx0，1211E(Y2)E[sin2(X)]sin2xf(x)dx2sin2x1dx，122221D(Y)E(Y)[E(Y)]．29．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m，又知航空测量的误差随机变量X的分布列为X(m)3020100102030P0.050.080.160.420.160.080.05而

6、场地边长随机变量Y等于边长的数学期望与测量误差之和，即Y350X，求场地面积的数学期望．2解：设场地面积为S，则SY，E(X)300.05(20)0.08(10)0.1600.42100.16200.08300.050，222222E(X)(30)0.05(20)0.08(10)0.1600.42100.1622200.08300.05186，2222故E(S)E(Y)E[(350X)]E(X700X350)22E(X)700E(X)350122686．10．A，B两台机床同时加

7、工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：3A机床次品数X0123概率P0.70.20.060.04B机床次品数X0123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好．解：E(X)00.710.220.0630.040.44，22222E(X)00.710.220.0630.040.8，22D(X)E(X)[E(X)]0.6064，E(Y)00.810.0620.0430.100.44，22222E(Y)00.