圆形有界磁场中磁聚焦规律的证明及应用.doc

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1、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律的证明及应用王波（安徽省天长中学239300）摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律：从边界上某点射入的相同粒子，其出射方向都平行于入射点的切线方向；反之，当从磁场边界上不同点以相同速度平行入射的相同粒子，又会聚焦于磁场边界上的同一点。这好比经过凸透镜焦点的入射光线，经凸透镜折射后变成平行光线；而平行主光轴入射的光线经凸透镜折射后会聚于焦点一样，我们可以称之为“磁

2、聚焦”，以此为背景的题目中通常表现为设计磁场区域的问题。关键词：圆形有界磁场磁聚焦磁场设计带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律。本文首先利用几何知识证明这两条规律的正确性，然后应用这两条规律来解决三个磁场区域设计题，这三个题目初次遇到都会感到难以下手。一、规律及证明：规律1：带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行

3、。证明：如图1所示，实线圆⊙O表示一圆形有界磁场的边界，一个带电粒子（不计重力）从圆上的A点射入磁场，磁场圆的半径为R，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是R，AD为过A点的切线，粒子从边界上的C点沿CE方向射出，下面来证明AD∥CE：图1图3图2如图2所示，设为粒子做圆周运动的圆心，连接OA、OC、A、C，因为磁场圆半径等于轨迹圆半径，故，则四边形OAC为菱形，可得：OA∥C，又因为OA⊥AD，则C⊥AD；因为C⊥CE，可得AD∥CE说明：在上述证明过程中，粒子的入射方向是任意的，而A点的切线方向是

4、确定的，因此从A点射入磁场的所有粒子都会平行于AD方向射出，如图3所示。粒子的入射方向是分散的，但经过圆形有界磁场偏转后，转变为平行出射，好比光学中，经过焦点的入射光线经凸透镜折射后变为平行光线一般。此规律的逆规律也是成立的，这就是规律2。.规律2：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。证明：图4如图4所示，在圆O中存在垂直纸面向里的匀强磁场，一束带电粒子的质量和电荷量相同，以相同的速度从不同位置射入磁场，已知圆形有界磁场的圆半径和带

5、电粒子作圆周运动的半径相等，均为R，求证所有粒子都从磁场边界上的同一点A射出。图5如图5所示，过O点建立平面直角坐标系，x轴平行入射方向，设入射点P与圆心O的连线OP与y轴正向的夹角为，则P点的坐标为（,）,轨迹圆的圆心磁场圆的方程：轨迹圆的方程：求出两圆的交点坐标为：，其中为入射点P，则粒子的出射点A的坐标为：A（0，-R）说明：入射点P的位置由角决定，不同的入射点对应不同的角，但出射点的位置A（0，-R）与角无关，这说明无论入射点的位置如何变化，粒子都会从点A（0，-R）射出磁场，规律2得证。这就是

6、说，从圆形有界磁场边界上不同点以相同速度入射的相同带电粒子，经磁场偏转后会从磁场边界上的同一点射出，这好比平行于凸透镜主光轴的光线经过凸透镜折射后都汇聚于焦点一般。由图5还可以看到出射点A的位置如何通过做图找出来：因为出射点A与磁场边界圆的圆心连线与入射方向垂直，因此可以过磁场边界圆的圆心做入射方向的垂线，与磁场边界的交点即为出射点位置。由以上两个规律可以看到，当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，圆形匀强磁场具有与凸透镜类似的“聚焦”作用，我们可以称之为“磁聚焦”。下面来看它们在磁场区域设计题中的应用。图6

7、一、应用例1电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时的速度方向不同，速度大小均为v0，如图6所示。现在某一区域内加一方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度。（2）所加磁场范围的最小面积。解析：图8图7（1）如图7所示，通过对两个边界粒子的运动情况的考察，即可确定光斑位置：沿x轴正向射入的粒子，做半个圆周运动后从磁场射出，可以垂直荧光屏打在A点；沿y轴正向射入的粒子，做1/4个

8、圆周运动后从磁场射出，可以垂直荧光屏打在D点。AD即为荧光屏上的光斑长度：.（2）由（1）中两个边界粒子的运动轨迹可以确定出磁场的一部分轮廓，但是射在AD之间的粒子，它们从磁场何处射出呢？这之间的磁场边界如何确定呢？根据规律1,如果加一个圆形有界磁场，且圆的半径恰好等于粒子的运动半径，则从磁场中同一点O射入的速率相等的相同带电粒子的出射方向都是平行的，刚好满足题意。故应加一个圆形有界磁场，并且由规律1可以确定此圆的位置：因为O点是磁场边界上