2、无风险的组合，价值为：V=hS-C到期时价值为：Vu=hSu-CuVd=hSd–Cd令Vu=Vd，可以解得h（对冲比率,hedgeratio）。因为无风险，该组合收益为无风险利率。因此Vexp(r*t)=Vu(orVd)代入V和Vu(hS-C)exp(r*T)=hSu–Cu因此期权的理论价值为：注意：公式中并没有出现股票价格上升和下降的概率；即期权的价值和它们无关。事实上，p是股票价格上升的“风险中性”(RiskNeutral)概率。风险中性概率风险中性世界（投资者只所有投资的预期收益都等于无风险
3、收益率）风险中性概率即风险中性世界隐含的概率例股票价格为S，T时间后股票价格或者上涨为Su（设概率为p）或者下跌为Sd，则应有：p*Su+(1–p)*Sd=S*exp(r*T)p=(exp(r*T)–d)/(u–d)例-2现实世界和风险中性世界假设贵班和隔壁班比赛，贵班赢的概率为3/4，若你做庄开赌，则赌你们班赢的赔率应该是多少？1：4/3合适吗？例S=100,X=100,u=1.25,d=0.80,r=.07先求得Cu,Cd,h,和p:Cu=Max(0,100(1.25)-100)=Max(0,
4、125-100)=25Cd=Max(0,100(.80)-100)=Max(0,80-100)=0h=(25-0)/(125-80)=.556p=(1.07-0.80)/(1.25-0.80)=.6代入公式:则无风险组合为1000个期权的空头和1000×h=1000(.556)=556股股票的多头。开始的价值（投资）:V=556($100)-1,000($14.02)=$41,580.若股票上涨至$125组合价值=556($125)-1,000($25)=$44,500若股票下跌至$80组合价值=
5、556($80)-1,000($0)=$44,480收益为7％，等于无风险利率。如果期权被高估：假定看涨期权的价格为$15.00则最初的投资为556($100)-1,000($15.00)=$40,600到期时你仍将得到$44,500，收益为9.6%，高于无风险利率。则所有的市场参与者都将仿效（做空期权做多股票），使期权价格回落。反之如果期权被低估：假定看涨期权的价格为$13你可以以$100的价格做空556股股票，以$13的价格买入1000个期权，收入$42,600。到期时你将付出$44,500。
6、这等于你借入$42,600，偿还$44,500，隐含利率为4.46%，低于无风险利率。两步二叉树模型现在我们让二叉树再伸展一步，则股票价格在两步之后变成Su2，Sud或Sd2。期权在两步之后的可能价值为：从期权到期向前倒推一步，可以求得期权在这些节点上的理论价值，即：则现在的期权价值为不同状态下的对冲比率是不一样的：例S＝100，u＝.25，d＝.20，则Su2=100(1.25)2=156.25Sud=100(1.25)(.80)=100Sd2=100(.80)2=64到期时，期权价值为：一步之
7、后，期权的价值为：因而，期权现在的价值为：应用于看跌期权步骤相同，但用看跌期权的损益公式代替看涨期权的损益公式。在上述例子中，到期时，看跌期权价值为：一步之前的价值为：因而现在看跌期权的价值为：对冲比率看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样，负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。成本为$29,900(299x$100)+$5,030(1,000x$5.03)＝$34,930如果股价从100上涨至125，则组合价值：299×$125+1,000×$0
8、.0=$37,375收益率为7%（$34,930），新的对冲比率为：因此卖掉299股股票，获得299×($125)=$37,375，投资于无风险利率。如果股价从100下跌至80，则组合价值：299×$80+1000×$13.46=$37,380收益率为7%（$34,930），新的对冲比率为：因此买入701股股票，需要701×($80)=$56,080，资金以无风险利率借入。如果股票继续从125上涨至156.25，投资组合价值为：现金（或债券）$37,375×(1.07)=$39,9
