《三角形的四心》ppt课件

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1、三角形的四心问题导学：1.什么是三角形的四心，它们的名称是什么？2三角形四心的性质是什么？一、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。三角形的中线必交于一点证明：已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴

2、四边形AOCG是平行四边形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.

3、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。二、三角形的外心定义：　三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点三角形的三条垂直平分线必交于一点己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC求证：OC平分∠ACB证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF；∴OE=OF∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB四、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点三角形的三条高必交于一点三角形的内心的性质1.三角形的三条

4、角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90°+∠C/2∠AOC=90°+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径)已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F三角形的三条高必交于一点求证：CF⊥AB证明联结DE∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠

5、ABE（同弧上的圆周角相等）∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC=90°∴△AEO∽△ADC∴AE/AD=AO/AC即AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上4.△ABC中，有六组四点共圆，有

6、三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF谢谢观赏