动量矩定理教学

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1、第十二章动量矩定理§12-1质点和质点系的动量矩质点的动量矩质点的动量对点O的矩。质点动量mv在Oxy平面内的投影（mv）xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动矩。结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩。力对轴之矩与力对点之矩的关系质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。质点系的动量矩质点系对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点系对z轴的动量矩。矢量和代数和绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。§

2、12-2动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。质点的动量矩定理：质点系的动量矩定理质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。OφA例题第12章动量矩定理mgLv两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO；鼓轮的半径是r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2(图a)，且m1>m2。试求鼓轮的角加速度。OABr1r2(a)例题第12章动量矩定理m

3、AgmBgα动量矩守恒定律当外力对于某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前，已知主动轴1以角速度0转动，而从动轴2处于静止。一经结合，轴1的转速迅速减慢，轴2的转速迅速加快，两轴最后以共同角速度转动。已知轴1和轴2连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是J1和J2，试求接合后的共同角速度，轴承的摩擦不计。01221(a)(b)例题第12章动量矩定理小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，

4、系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为ω0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。ω0zaallABωzaaθθllAB例题第12章动量矩定理Lz1=Lz2§12-3刚体绕定轴的转动微分方程转动惯量是刚体转动惯性的度量。如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度α。RαOF1F2例题例题第12章动量矩定理解：飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度ωO绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为

5、fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。OωO例题第12章动量矩定理FsFNFOxFOymg传动轴如图所示。设轴Ⅰ和Ⅱ的转动惯量分别为J1和J2，转动比,R1，R2分别为轮Ⅰ，Ⅱ的半径。今在轴Ⅰ上作用主动力矩M1，轴Ⅱ上有阻力力矩M2，转向如图所示。设各处摩擦忽略不计，求轴Ⅰ的角加速度。ⅡⅠM1M2例题第12章动量矩定理M1α1R1F'F'NM2α2R2FNF因，于是得例题例题第12章动量矩定理§12-4刚体对轴的转动惯量1、简单形状物体的转动惯量计算2、回转半径（惯性半径）细

6、直杆均质圆环均质圆板转动惯量同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒定，且恒为正值。对于连续体若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距离为ρ，则有：平移轴定理：刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。刚体对质心轴的转动惯量最小。ρ：回转半径或惯性半径CRdθrdr均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。解：取单位厚度的圆轮研究，取一面

7、积微元dm对轮缘上任一点，有：解：取一微元dx∵∴对杆端，有：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。CdxxOxz平行轴定理刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并于该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。无外力矩作用的半径为R，质量为m0的圆柱形自旋卫星绕对称轴旋转，质量各为m的两个质点沿径向对称地向外伸展，与旋转轴的距离x不断增大如图示。联系卫星与质点的变长度杆的质量不计，设质点自卫星表面出发时卫星的初始角速度为ω0。试计算卫星自旋角速度ω的变化规律。

8、m0Rωxx例题第12章动量矩定理例题例题第12章动量矩定理圆轮重Q，受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动?FFF••1).地面光滑时2).地面有摩擦时:左图质心保持不动，因为水平方向的合外力为零;右图质心将沿力F方向运动.左图质心将向右运动，右图中:a.若主动力F≤Qf，则质心不动;b.若主动力F＞Qf，则质心向右运动.两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为ω1和ω2，且ω1>ω2，问：1）哪个动量大?分别为多少?2）哪个动量矩大?分别为多少?答：1）一样大，均