资源描述：
《全概率公式与bayes贝叶斯公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节全概率公式与Bayes(贝叶斯)公式1.样本空间S的划分(或完备事件组)样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和定义1.5.2如果随机事件A1，A2，…，An满足：(1)Ai∩Aj=,对所有的i≠j；(2)A1∪A2∪…∪An=S.则称A1，A2，…，An是样本空间S的一个划分。思考A–B、B–A、AB、构成S的一个划分。2.全概率公式假定随机事件组A1，…，An是样本空间S的一个划分，B是任意的一个随机事件，则：P(B)=∑kn=1P(Ak)P(B
2、Ak)全概率公式这公式也适用于对样本空间的无穷划分例1，某届世界女
3、排锦标赛半决赛的对阵如图：根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。解：令H={日本胜美国},={美国胜日本},A={中国得冠军};=0.5*0.9+0.5*0.4=0.65例2，盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率.由全概率公式便得所求的概率为解：令Hi={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0，1，2，3，A={第二次比赛取出的3个球均为新
4、球}P(A)=∑i3=0P(Hi)P(A
5、Hi)于是有:=0.146某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B
6、Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸
7、Ai是原因B是结果例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式P(B)=P(A1)P(B
8、A1)+P(A2)P(B
9、A2)+P(A3)P(B
10、A3)则B=A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B
11、A1)=0.2,P(B
12、A2)=0.6,P(B
13、A3)=1可求得:为求P(Ai),设Hi={飞机被第i
14、人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B
15、A1)+P(A2)P(B
16、A2)+P(A3)P(B
17、A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.123
18、1红4白或者问:某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求P(A1
19、B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?3.贝叶斯公式对任意的m≥1，有：P(Am
20、B)=———————————P(Am)P(B
21、Am)∑kn=1P(Ak)P(B
22、Ak)贝叶斯公式假定随机事件组A1，…，An是样本空间S的一个划分，B是任意的一个随机事件，则：这公式也适用于对样本空间的无穷划分例3：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有
23、癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？解：令H={做实验的人为癌症患者},={做实验的人不为癌症患者},A={实验结果反应为阳性};由全概率公式便得所求的概率为=0.087如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)=0.1066说明这种试验对于诊断一个人是否患有
24、癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平
