一把解决函数难题的快刀——导数.doc

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1、一把解决函数难题的“快刀”——导数作者：陈建设福建省南安一中（邮编：362300）电话：0595－86921717E-mail:keiri-chen@sohu.com摘要：函数是高中数学的主干内容，也是初等数学的基础。高中数学的函数问题内容多而繁，性质复杂且比较抽象，固而很多同学对函数知识的考察极为畏惧，视它们为“一团乱麻”。导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，它作为选修部分进入新课程，为研究函数提供了更有力的工具和更广阔的空间。导数就像一把解决函数难题的“快刀”，可以有效而彻底地解决很多初等数学问题，诸如求曲线在某一

2、点上的切线方程、求函数的极值、最值和单调性、函数的图象特征等。那么如何应用好导数这一把“函数快刀”呢，本文就上述问题作粗浅探讨。一、导数在函数单调性方面的应用.【典型例题】设函数，若函数在R上为单调函数，求的值.【分析】只要求出的的值使其函数的导数在R上恒大于0或恒小于0即可.【解析】由，得，若函数在R上为增函数，则有＞0对一切恒成立.即＞0对一切恒成立，而当时，，所以＜0这与已知矛盾，若函数在R上为减函数，则有＜0对一切恒成立，即对一切恒成立，由于，所以只需≥1，从而，当≥1时，函数在R上为单调函数，且为单调减函数.【

3、题型探究】一般情况下，函数在它的定义区间内不是单调，但对导函数而言，它的单调递减和单调递增的是由，决定的，由此在所给的区间内恒成立可求出待定参数.【同类变式】设函数.（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数,m的取值范围.【参考答案】解：（1）由知，函数的定义域为（－∞，－1）（－1，+∞），其导数为，令，即得－2＜＜－1或＞0，故函数的单调增区间为（－2，－1），（0，+∞）；令，可解得或－1＜＜0，所以函数的单调减区间为（－∞，－2），（－1，0），由（1）知且函数在处连续，所以函数在[，0]上为减函数

4、，在[0，]上为增函数，所以函数在[，]上的最大值应在端点处取得，又，显然，所以在[，]上的最大值为，由题知使不等式对时恒成立，则有二．利用导数求函数的极值和最值.【典型例题】已知（）在时取得极值，且.（1）试求函数的解析式；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由.（1）【分析一】由于时是方程两根，再由题意可求出的解析式.【解析一】由得，因为是函数的极值点，所以是方程＝0的两根，由韦达定理得，，由因即⑶，由⑴⑵⑶可解得，所以=，【分析二】由和即可求出的解析式.【解析二】由题意有，即①，②，又由即③，则由①②③可

5、解得，，所以=.（2）【分析】要求是极大值点还是极小值点，可用其单调性求解.【解析】由=可得，所以当或＜－1时，，即函数=.在（－∞，－1）和（1，+∞）上为增函数，在（－1，1）上为减函数，所以时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.【题型探究】本题命题意图是考查函数的极值问题，所提供的解答紧扣了函数导数等于0是函数取得极值点的先决条件，在（2）中还用到了导数大于0和导数小于0来求函数的单调性，从而求出是极大值点还是极小值点，由此可看出在求函数的极值或是最值问题时常用导数等于0来解答.但是得注意是，函数的极值对应的点

6、不一定是导数为0的点，可能是导数不存在的点，如y=

7、x

8、的极值点在x=0上，但在这一点上函数不可导；另一方面，最大值不一定是极大值，可能为定义域端点所对应的函数值，在学习中要引起关注。【同类变式】1.求函数在（0，1]上的最大值（其中R）.2.证明：.【参考答案】1.解：令，则由可得，于是原函数等价于求在（0，1]上的最大值，因，所以当时，对（0，1]有＞0，故函数在（0，1]上为增函数，所以，当＜0时，由＞0得，所以函数在（0，）上为增函数，由＜0得＞，所以函数在（，+∞）上为减函数，从而，当≥1即－1≤＜0时，函数在

9、（0，1]上为增函数，所以最大值为，当＜1即＜－1时，函数在（0，]上为增函数，在[，1]上为减函数，所以当t＝时函数取得最大值，.综上所述：当时，；当时.2.解：由本问题的特点可构造函数来解，首先证明，（）令则有,显然对于，＞0所以函数在（0，+∞）上为增函数，又函数在处连续，且当时，所以对于一切（0，+∞）有＞0，故即，（）；同理可证明：综上所述原题得证.三．导数与函数图象特征的关系.【典型例题】设函数的图像为C1，函数的图像为C2，已知在C1与C2的一个交点的切线互相垂直.（1）求，之间的关系；（2）若＞0，＞0，

10、求的最大值.【分析】由导数的几何意义以及两切线的位置关系即可求出，的关系，求的最大值可借助不等式求解.【解析】（1）对于C1：，有，对于C2：有，设C1与C2的一个交点为（），由题意知过交点（）的两条切线互相垂直，∴即①又点（）在C1与C2上，故有②由①②消去可得，（2）由于＞0，＞0且，所以≤，当且仅当时，取等号，