一元高次方程的求解.doc

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1、一元高次方程一元三次方程求解其中是任意复数②若令，则三次方程简化为③其中，，设表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得。若令，。对于适当确定的立方根，卡当公式是，，求解线性方程组，得到，于是，原三次方程的三个根为，，。其中，（是虚数单位）。C、一元四次方程求解3.x4＋bx3+cx2+dx+e＝0．设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0．(4)移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，　　　右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．　　　　解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5

2、)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得　　　　解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。当高次不等式数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？次方程的一般表达式是而称为次多项式，其中。当系数都是实数时，称是次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称为次复系数多项式。如果存在复

3、数，使得，就称是次方程的一个根，或称为次多项式的一个根。怎样得到高次方程的近似根盛松柏伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？设是的一个精确根，即，假设问题所要求的精确度为，也就是满足的，或满足的，称为的一个近似根。下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：方法一：牛顿切线法取一

4、个初始值，然后使用下述迭代公式，xyOx*f(xk-1)xk-1f(xk)xk其中是的一阶导数。牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，因为的根满足，在直角坐标平面中，点恰是的曲线与Ox轴的交点，于是每次迭代所得的点正好是曲线上点的横坐标。牛顿切线法其实就是过曲线上的一列点所作曲线的切线与Ox轴的交点。方法二：牛顿割线法在方法一中，只要给定一个初始点。而方法二中，我们给定两个初始点。然后在每次迭代时，把作为下一次迭代的始值。这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。数学上称为迭代法。迭代法很适合于

5、计算。只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。均能收敛于的根。方法三：二分法先将分成N等份，得到N个等长的小区间，显然每个小区间的长度。记第一个小区间为，其中，，第个小区间为，则，，若对其中某些，有，则在中必有的一个根。然后对这些再分别用二分法，便能求出的一个近似根。二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。问题在于如何合适地确定N，因为N太大，则工作量也会太大，而N太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。方法四：劈因子法先用求单实根的方法，求出的一

6、个根，利用因式分解有，其中是（）次多项式。然后求的一个根，依次计算下去就有可能求出的所有实根。这里所说的有可能求出的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。方法五：林士谔—赵访熊法林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。林士谔—赵访熊法是求的复数根的一种好方法。我们知道，二次多项式的根由给出，林士谔—赵访熊法就是求的二次因式的方法。该方法建立了一套求和的迭代方法，且可以避免复数运算。一旦求得和之后，就得到了的两个根，且

7、当时，可得到的一对共轭复根，然后再利用，其中是（）次多项式，继续用同样的方法求的实根或复根。该法也是一种劈因子法。求高次方程的根的近似值，除了以上几种方法外，还有施斗姆（Stome）法等，这里不再详说。这些方法各有优点，又不是万能的。另外，牛顿法和二分法可以用来求超越方程的根，牛顿法及其改进可以用来求非线性方程组的根。