一级注册结构工程师基础考试-高数课件01[突破建筑类考试]

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1、空间解析几何一、向量代数二、空间解析几何1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.相等向量:大小相等,方向相同负向量:大小相同,方向相反向径:起点为原点零向量:模为0的向量,方向不固定向量的模:向量的长度(大小)单位向量:模为1的向量一、向量代数（2）向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：（3）向量的坐标表示式：向量的坐标：2、向量的表示法（1）有向线段(模和方向余弦）3、向量的线性运算向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4、数量积数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式运算律(1

2、)交换律(2)结合律(3)分配律5、向量积定义：向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称性质为非零向量,则∥运算律(2)分配律(3)结合律向量积的坐标表达式∥6、混合积定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义混合积的坐标表示设性质(1)三个非零向量共面的充要条件是解解例3.已知向量的夹角且解：例4（06年）已知若共面，则等于：解:若共面,则由此得故应选（C）1.空间的平面设一平面通过已知点且垂直于非零向称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为法向量.量二、空间解析几何（1）平面的方

3、程•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.是平面的一般方程，特殊情形例5.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例6.(07年)设平面的方程为,以下选项解:由所给平面

4、的方程知,该平面平行于z轴,不可能垂直于z轴，故应选（Ｂ）．中错误的是:点到平面的距离公式：平面平面垂直:平行:夹角公式:平面之间的相互关系2、空间直线因此其一般式方程（1）空间直线的方程直线可视为两平面交线，(不唯一)说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.则直线的对称式方程也称为点向式方程直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量参数式方程设得参数式方程:例7.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给

5、直线的对称式方程为参数式方程为例8已知平面过点,则与该平面垂直且过点的直线的对称方程为:解:平面的法向量所求直线的方向向量为,故应选(B).直线（3）线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：（4）面与线间的关系直线:（1）旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.3、曲面方程特点:例9.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成

6、曲面方程为（2）柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于例如：椭球面(3)二次曲面椭圆锥面抛物面椭圆抛物面(p,q同号)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)双曲面单叶双曲面双叶双曲面例10.下列方程中代表单叶双曲面的是:解:表单叶双曲面,故应选

7、(A).4.空间曲线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C(1)空间曲线的方程称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为（2）空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程例11.空间曲线在平面的投影方程是解：消去方程组中的变量z得到这是所给曲线关于面的投影柱面的方程，曲线在平面的投影方程应是：故选D。