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1、投资组合贝叶斯分析法运用1952年马克威兹发表了一篇题为《投资组合选择》的论文,成为现代投资组合理论的开山之作。该理论框架主要思想是将方差用于量化风险,并以此为基础建立风险—收益分析框架。根据问题的特殊性,我们试图找到一种解决途径——贝叶斯分析方法。在该方法下,收益率的均值和方差等参数设置为随机变量而非某个固定取值。投资者在做出投资决策时所使用的收益率的预测分布,也相应地做出调整。因此,均值—方差模型的高敏感性,可以通过贝叶斯分析方法解决。在贝叶斯方法下,收益率的预测分布只依赖于历史样本数据,这使得模型的稳健性
2、得到提高。一、传统均值—方差模型及其局限性(一)马克威兹模型理论假设首先,投资者依据某一持仓时间内的证券收益的概率分布考虑投资选择;其次,投资者根据证券的期望收益率估计组合的收益风险;再次,投资决定仅依据证券的风险和收益;最后,投资者是理性经济人,追逐利益最大风险最小化。根据以上假设,马克威兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论,建立了资产优化配置的均值—方差模型。(二)目标函数分析其中为组合收益,为第只股票的收益,为证券的投资比例,为组合总风险,为两个证券之间的协方差。上式表明,在限制条件下求
3、解证券收益率使组合风险最小,可通过Lagrange目标函数求得。其经济意义是:投资者预先给定期望收益,通过上式确定总风险最小情况下,每个项目的投资比例。不同期望收益对应不同最小方差组合,最终构成最小方差集合。(三)结论通过上面模型,我们可以清楚地找出组合资产风险的影响因素。更重要的是,马克威兹得出了“资产的期望收益由其自身风险的大小来决定”这一结论。在马克威兹创建的“均值—方差”或“均值—标准差”二维投资机会集的有效边界上将该结论阐述得很清楚,图形如下:图1均值—标准差二维投资机会集的有效边界上面的有效边界图形
4、揭示出:单个资产或组合资产的期望收益率由风险测度指标标准差来决定:收益率与风险成正比;风险对收益的决定是非线性(二次)的双曲线(或抛物线)形式,这一结论是基于投资者为风险规避型这一假定而得出的。具体的风险定价模型为:且为常量;表示个证券收益率的均值(期望)列向量,为资产组合的协方差矩阵,1表示分量为1的维列向量,上标表示向量(矩阵)转置。(四)理论局限马克威兹组合理论是一个投资主体多元化的理论,也是一个能够分析如何有效地分散投资的分析框架。但在实际使用中,马克威兹模型有一定的局限性和困难:1.马克威兹模型所需要
5、的基本输入包括证券的期望收益率、方差和两两证券之间的协方差;2.数据误差带来的解的不可靠性。3.解的不稳定性。二、贝叶斯分析方法简介及其运用(一)贝叶斯分析方法简介贝叶斯分析方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系统地阐述和解决统计问题的方法。贝叶斯分析的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合,再根据贝叶斯定理,得出后验信息,然后根据后验信息去推断未知参数。由Bayesian公式得:对两个随机变量,条件概率密度:故,在主观概率论中其中:是的先验概率密度函数。是出现时,的条件概率密度,又称似然函数。是的边缘
6、密度,或称预测密度。是观察值为的后验概率密度。(二)编程改进针对马克威兹模型的局限性,我们利用R软件进行编程,让计算机代替人工手算。这可以大大减少工作量,且能降低错误率。1.极大似然估计程序图2极大似然估计算法程序展示2.改进后的贝叶斯方法程序图4贝叶斯算法程序展示在极大似然估计下所得出的结果要承担估计风险所引起的解的不可靠及不确定性。估计风险来源于投资者在不知道确切的参数值时,为做出投资决策对非确切参数进行了估计,而估计误差将会对投资组合带来估计风险。而在贝叶斯方法下,参数的取值并不是某一固定值,而是被看作随
7、机变量。收益率的预测分布只依赖于历史样本数据,大大降低了进行参数估计所带来的估计误差及风险。当投资者关于风险和收益具有先验分布时,在观察到历史股票收益率之后,可以通过贝叶斯公式得到风险和收益的后验分布,然后计算出下一时刻股票收益率的权重。三、数据统计及优势分析(一)数据统计为证明将贝叶斯分析方法与马克威兹模型相结合后,所得结果将改善传统模型解的不稳定性,我们将用同一组数据分别用传统算法程序、贝叶斯算法程序运行。1.极大似然法程序分析结果图5极大似然估计算法结果展示2.贝叶斯方法程序分析结果图6贝叶斯算法结果展示
8、(二)优势分析1.计算机编程很好地解决了基本输入量过大问题无论普通算法程序还是贝叶斯算法程序,都为我们节省了大量的运算时间,并提高了计算结果的准确性。两个程序适合大量数据的运算。例如将上证十支股票2007-2010四年约10000个数据的收益率导入传统均值—方差模型程序,运行时间为10小时,平均一分钟运行循环语句三次。如果采用人工计算这10000个数据,再对所得的20000个结果进行加
