物理竞赛中的数学知识

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1、物理竞赛中的数学知识一、重要函数1．指数函数2．三角函数3．反三角函数反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。二、数列、极限1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列的一般形式可以写成　　a1，a2，a3，…，an，a（n+1），…简记为｛an｝，通项公式：数列的第N

2、项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。2．等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项公式an=a1q(n-1)，前n项和所有项和3．求和符号4．数列的极限：设数列,当项数无限增大时,若

3、通项无限接近某个常数,则称数列收敛于A,或称A为数列的极限,记作否则称数列发散或不存在.三、函数的极限：在自变量x的某变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数A，则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变化过程中的极限。设f(x)在x>a(a>0)有定义,对任意e>0,总存在X>0,当x>X时，恒有

4、f(x)-A

5、

6、与无穷大量1．若，则称是时的无穷小量。（若则称是时的无穷大量）。或：若a(x)=0,则称a(x)当x®x0时为无穷小。在自变量某变化过程中，

7、f(x)

8、无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3．无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4．无穷小的比较定义：设a(x)=0，b(x)=0，1)若=0，则称当x®x0时b(x)是比a(x)高阶

9、无穷小。2)若=¥，则称当x®x0时b(x)是比a(x)低阶无穷小。3)若=C(C¹0)，则称当x®x0时b(x)与a(x)是同阶无穷小，4)若=1,则称当x®x0时b(x)与a(x)是等价无穷小。5．常用的等价无穷小为：当x®0时：sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~，~。等价无穷小可代换五、二项式定理1．阶乘：　　n!=1×2×3×……×n2．组合数：从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数3．二项式定理即六、常用三角函数公式si

10、n（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝—sinαtan（π/2＋α）＝－cotα和差化积公式积化和差公式万能公式典型物理问题数列极限等应用1．蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离L1=1m的A点处时，速度是V1=2cm/s。试问蚂蚁继续由A点到距巢中心L2=2m的B点需要多长时间？2．常见近似处理1．人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？2．如图所示，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其

11、下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发，速率都是v，运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4．如图所示，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满足什么条件?5.一只狐狸以不变的速度

12、沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀