线面垂直与面面垂直典型例题

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1、线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直面面垂直线线垂直、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）A、B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC，垂足为H，则H一定在（B）A、直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、△ABC的内部、如图示，平面⊥平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（A）A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3、如图示，直三棱柱中，,DC上有一动点P，则△周长的最小值是　　　　　5.已知长方体中，,若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长的取值范围是。题型一：直线、平面垂

2、直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知.求证：(1)；(2).证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DEÌ平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，ACÌ平面ABC，EFÌ平面ABC，所以DE⊥平面ABC

3、.又DEÌ平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.证明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中点G，连接EG，FG、分别为、的中点,,,则四边形为平行四边形，.3．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面

4、，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．4.　过点引三条不共面的直线、、，如图，，，若截取(1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离．分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵，又，∴和都是等边三角形，∴，取的中点，连结，∴．在中，，∴，，∴，∴．在中，∴，，，∴，∴，∴平面．∵平面，∴平面平面．或：∵，∴顶点在平面内的射影为的外心，又为，∴在斜边上，又为等腰直角三角形，∴为的中点，∴平面．∵平面

5、，∴平面平面．(2)解：由前所证：，，∴平面，∴的长即为点到平面的距离，，∴点到平面的距离为．、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDM7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。(1)求证：AE//平面BCD；(2)求证：平面BED平面BCD题型二、空间角的问题1.

6、如图示，在正四棱柱中，，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求：（1）异面直线AD与所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角的平面角．设，在中，,在△中，,是锐角，,即二面角等于．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的

7、角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3.　正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．解：过作及的垂线，垂足分别是、