排序不等式 的应用.doc

《排序不等式 的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、排序不等式排序不等式（sequenceinequality），又称排序原理设，为两组实数，是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和。排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。一、排序不等式的基本应用排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情

2、形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。例1设是个互不相同的正整数，求证：分析：由于是个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到对应的另一列数是1、、、…、，由此可以联想到应用排序不等式。值得注意的是不能直接假设，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义的大小关系。证明：设是的一个排列，且满足＜＜…＜.因为是互不相同的正整数，所以，，…，.又因为1＞＞＞…＞，故由排序不等式：乱序和反序和，得：原不等式成立.例

3、2设都是正数，求证：分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设，构造和，应用排序不等式证明不等式。证明：不妨设，则，由排序不等式：顺序和乱序和，得：原不等式成立.例3设是的一个排列，求证：分析：通过观察，把与分别看作两组有大小顺序的数组，联想应用排序不等式进行证明。证明：设是的一个排列，且；是的一个排列，且，则，且，，…，，，，…，.由排序不等式：乱序和反序和，得：原不等式成立.总结：应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组，并且要利用数组的大小关系进行解题

4、。因此，比较数组的大小关系是解题的基础。灵活构造两列数组，也是解题的关键所在。并且需要注意，在未给出数组大小关系的时候，要不失一般性的对数组进行大小顺序的排列。一、经过是当变形后，在运用排序不等式解决问题有些需要证明的不等式并不是直接给出排序不等式的乘积之和的形式，这时就需要我们对不等式从结构上观察进行适当的变形，为使用排序不等式创造条件。例1设为正数，求证：分析：本题通过观察发现，我们可以将不等式转化为的形式，进而应用排序不等式进行解题。证明：原不等式等价于不妨设，则，，由排序不等式：顺序和乱序和，得：即例2设，，是的任一排列，求证：分析：通过观察发

5、现，将结论中的指数形式转化为对数形式后，便可应用排序不等式，结合对数函数的单调性进而解决问题。证明：，又，由排序不等式：顺序和乱序和反序和，得：为单调递增函数，所以例3设为正实数，求证：分析：通过前面几道题的训练，我们很容易构造两个数组，应用排序不等式；但通过计算我们发现，应用一次排序不等式后，形式进行了转化，需再次运用排序不等式并结合不等式的性质解决问题。证明：不妨设，则，，由排序不等式：顺序和乱序和，得：又，由排序不等式：顺序和乱序和，得：原不等式成立.一、两次或多次运用排序不等式，通过累加法解决问题根据排序不等式：顺序和乱序和反序和，我们可以发现

6、乱序和的形式不止一种，所以我们经常利用这一点构造多个不等式进行累加，从而得到所需要的不等式，这是运用排序不等式的常用策略。例1在中，求证：分析：根据三角形边和角之间的关系，并注意到的形式，我们很容易联想到应用排序不等式；若注意到，则问题迎刃而解。证明：不妨设，则由排序不等式：顺序和乱序和，得：以上三式相加，得：即例2设都是正数，求证：分析：通过观察发现，我们可以构造两个数组和，但它们的乘积没有出现不等式右端的形式，我们便可通过累加法来约去每一项分母。证明：不妨设，由排序不等式：顺序和乱序和，得：两式相加，得：原不等式成立.例3（切比雪夫不等式）设，为任

7、意两组实数，如果且，求证：，当且仅当或时，等号成立。证明：先证此不等式等价于由排序不等式：顺序和乱序和，得：以上个式子相加，得：即同理，由排序不等式：顺序和乱序和反序和，得：以上个式子相加，得：即