高考数学解题万能思路2011年11月过伯祥

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1、高考数学解题的万能思路（2011年11月过伯祥）（笛卡尔＋波利亚：一份针对程序化试题编制的，更好用的“怎样解题”表）鲁迅说过：一部红楼“单是命意，就因读者的眼光而有种种：经学家看见《易》，道学家看见淫，才子看见缠绵，革命家看见排满，流言看见宫闱秘事，……一位心理学家做过一项心理测验：找来两个七岁的孩子，给他们看一幅图画：一只坐在餐桌旁边哭的小兔子，……“想法形成发现”的三步曲近年来一直在思考：“中学数学的通性通法？”；“数学方法论稿”的修订；笛卡尔+波利亚的影响数学教育数学.数学教育常要从人的认识、教育规律上，从方法论…等上来思考、探索与研究.暂时离开是为了回来！一

2、.数学是什么？对中学数学的一种另类看法——高观点下的中学数学！数学就是把问题形式化（列出方程、不等式，算式、函数式），然后进行合乎数学规范的形式操作.这些形式操作的核心思想，就是数学的通性.数学的通法就是，把问题的条件，通过种种途径，一一化为方程、不等式或算式、函数式.然后，再对它们进行求解.初中与高中初中主要打好《形式表述》、《形式操作》的基础；高中扩展必要的数学领域.从高考数学试卷看，当前的初中与高中“脱节”严重！高中数学的每一小系统领域，虽然各有其自身独特的概念、性质与符号体系；但最终多数情况下都归结为式子的操作运算，即“用通性通法操作符号”.这就是数学！首先，

3、选择一套形式符号，把问题（进一步）形式化；然后，又选择与设计一种形式运算的程序，完成数学化的操作.总的通用的形式操作就是通性通法；各单元又有各具特色的常用的形式变换.例1.设等差数列｛｝（≥1）包含1和.证明：｛｝中任意三项均不构成等比数列.（一道高校自主招生试题）《过程中的主要步骤就是：形式表示与形式操作》二.高考数学解题的万能思路——笛卡尔＋波利亚一份针对程序化试题编制的，更好用的“怎样解题”表1.笛卡尔模式：设元引参，把问题的条件化为一个个方程、不等式，函数式，或直接列出算式.利用概念的定义，符号的意义利用相关的公式、性质由己知数学关系式导出2.问题的分解：

4、整体处理有困难时，可以考虑，把问题分解为几种情形，分别考察求解依据什么标准分类讨论为好？分解成的情况不重不漏么？还有什么更好的分解讨论法么？（“讨论”与“转换”，都是在困难情况下，如何把问题“形式化”！）3.问题的转换：某些条件转化为方程、不等式有困难，问题求解遇阻时从某些条件可以推出什么？把问题映射到另一领域中，能归结为怎样的方程、不等式么？转换为用排除法来思考又如何？4.求值；求解；变换，以完成解题目标直接求出算式的值求解方程组，或不等式组变换函数式，导出解答绘制、借助图象得解（“形式化”后，再“求解”，解数学题就是这么两大步骤！）据此大思路，重点要让学生掌握常见

5、常用条件转化为方程、不等式的办法；（题型更多，条件就少些.如搭积木.）常用的解方程、不等式组，变换推演算式的方法；常用的映射转换方法.（因为，学生的困难往往就在于，某几个条件没法把握，从而列不出与它相关的方程或不等式；解某些方程、不等式组的，或变换某个算式的技巧不太熟练.讲题要分清题解过程中的难点与重点，总是急忙忙地往前赶不太好.）笛卡尔＋波利亚；新解题表的合理性1.这是据笛卡尔万能方法设想；仿照波利亚的《怎样解题》表；又立足于现代中国高考（一种程序化考试）的试题特点编制的.笛卡尔的万能方法设想：任何问题代数问题解方程组2.分析了大量的中、高考数学试题，及高考模卷试

6、题，得到相当充分的证实！例2：抛物线y=与x轴的一个交点A在点（－2，0）和（－1，0）之间，顶点C是矩形DEFG（包括边界与内部，它内部的点的横坐标在1与3之间，纵坐标在2与3之间）上的一个动点，求a的取值范围.（一个典型例题的典范解法：形式表示+形式操作.）例3.设函数，其中,若的单调递减区间的长度是正整数，求的值.（本例的困难在于，选用什么适当的符号、形式来反映问题条件？）例4.（2008，浙江）己知数列｛｝，≥0，=0,记＝＋＋…＋，＝＋,求证：⑴≤；⑵＞－2；⑶＜3.（注意条件式的多种变形与应用之法.让数学讲课活起来！）帮助学生从中找出了共同的统一的东西：形

7、式化＋形式操作.于是，教学要1.要重视审题；重视思路分析；重视变换与计算的关键之处；2.要努力让讲课让形式操作“活”起来！正象现代社会是法制社会，只是不能干“违法”的事；没有处处必须那么干的限制.数学不也是这样么？（“题海”做法的最大弊端在于“平铺直叙”.）3.从高考数学命题的指导思想与原则的一系列提法来分析，高考试卷，也只能是目前这种由大题量、高覆盖面、高区分度、由易到难的多种题型组合而成的程序化试题卷.所以，新的《怎样解题》表就应该针对程序化试题卷的模式来设计.4.从高考试题的整个命题过程来看，它就是命题人员，在命题指导思想与原则的指引和约束下，