数学实验之十三-混沌

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1、数学实验之十三－混沌中国科学技术大学数学系陈发来实验内容函数迭代二次函数的迭代FeigenBaum图混沌的特性其它函数的迭代一、函数迭代给定一函数以及初始点，定义数列称为函数的迭代序列。满足的点称为的不动点，记之为。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的点都远离它，则它是排斥点。例如，0与1是的不动点。0是吸引点，1是排斥点。如果则点集形成一个k循环。称为k周期点。k称为周期。类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如1是的

2、预周期点。迭代序列的收敛与发散性质不仅与函数有关，而且与初值的选择有关。例如，对于迭代当初值时，迭代序列收敛，否则发散。二、二次函数的迭代对二次函数做迭代:迭代的几何直观图练习1对几组不同的参数值（如1.4)以及不同的初值，观察迭代是否收敛。练习2取参数，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数回答同样的问题。练习3找出一个参数使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？练习4对任意的整数，你能找到一个值使得它对应的迭代

3、具有周期点吗？对哪些值能给出周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对和的值进行验证）练习5如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？练习6根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些值对应吸引的不动点？哪些值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。不动点的计算从得到及吸引的不动点与排斥的不动点定理设是的不动点，如果在附近有，则是的吸引的不动点；否则，是的排斥的不动点。由于故当0

4、斥点，(a-1)/a为吸引点。2周期点得三、Feigenbaum图将区间（0,4]以某个步长（如）离散化。对每个离散的值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。练习7观察Feigenbaum图。（1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？（2）从某一点开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？（3）再在下一个分支点，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？（4）上述分支过程是否一直进行下去？是否存在极限分支点?（5）在极限分支点之后，Fe

5、igenbaum图是否显得很混乱？练习8在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？四、混沌的特性对初值的敏感性练习9任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过0.1,在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01,0.001,0.0001结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？非随机性仍然考虑迭代练习10从不同的初值出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,

6、1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？五、其它函数的迭代锯齿函数练习11锯齿函数的迭代对初值是否敏感？找出锯齿函数的周期点。帐篷函数练习12帐篷函数的迭代对初值是否敏感？找出帐篷函数的周期点。其它函数的迭代对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数的迭代行为相比较。六、听一听混沌练习14选取初值（如），由迭代产生迭代序列，根据的大小确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序列。