西北工业大学研究生课程考试答题纸

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1、B6M2008B试题及解答西北工业大学研究生课程考试答题纸考试科目：矩阵论(M2008B)-2008.12.29成绩：题号一二三四五六七八得分一、（18分）填空：1．设，则的Jordan标准形为．2．设，，则.3.设，问矩阵幂级数收敛还是发散？（发散）其原因是（的特征值为1,1,1；N-级数发散）.4．设为3阶Householder矩阵，为2阶单位矩阵，问是否为Householder矩阵？（是）5．设阶矩阵的特征值为，则矩阵方程有非零解的充要条件是（）．6．设线性空间的基为，中的线性变换满足，，，则的核的一个基为（，）．分析：

2、在基下的矩阵为，基础解系为，的一个基为，B6M2008B试题及解答二、(9分)设非零矩阵的一个满秩分解为，对于上的矩阵范数，定义实值函数（）其中表示的Moore-Penrose逆（其余类同），证明是上的矩阵范数．证(1)当时，；当时，（若，则，即，矛盾），从而．(2)-(3)略(4)三、(15分)已知，，.1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件的解.解1.（求和法）.因为，所以，（待定法）.因为，所以.令，则有B6M2008B试题及解答2．，四、(10分)用Householder变换求矩阵的分解．解(1)，，，(2)

3、，，，令，则有，，五、(10分)用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值．B6M2008B试题及解答（要求画图表示）解①的4个盖尔圆为；；；易见孤立，而相交．②，的4个孤立盖尔圆为；；；其中各含的一个特征值．结合①与②可得：,中各含的一个特征值．[注]可取．六、(15分)已知，．1.求A的满秩分解；2.求A；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；4.求线性方程组的极小范数解，或者极小范数最小二乘解.（要求指出所求的是哪种解）解1.，2.B6M2008B试题及解答，3-4.，，故有解.是的极小范数解.七、(15分)设欧

4、氏空间中（内积运算是通常的）的线性变换为（任意，且）1.证明是对称变换；2.求的一个标准正交基，使在该基下的矩阵为对角矩阵.解1.取的标准正交基为，计算基象组，，，因为是对称矩阵，所以是对称变换.2.特征值，特征向量，（正交）；，（正交）B6M2008B试题及解答正交矩阵使得令，求得标准正交基：,,,于是可得．八、(8分)设满足，证明，即可分解为子空间与的直和．证(1)先证：因为，所以，故(2)再证：，有；因为所以综述(1)和(2)可得．证法2(1)先证：（同证法1）(2)再证：因为，所以．综述(1)和(2)可得．