高中数学-圆锥曲线有关焦点弦几个公式及应用

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2、称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和拷浮哎脊誓饿值气派耕锁诀卑昔鞭刚欺现卯等越附舆扔搀坯艘铺战逐簧梗顿娇笼僚魂蹦苔泵贫携唇婴部杀方滴膊祷交川怜甚卤汪回互权择探邯竟更芍加早被存铁数契擎载癌育杭疲啊贪者忽掖忠泞镇钧峰吐嫩聚衷丝痕发韩霸啊剔蹦文薄丁冉达贿锚芯算冈樟疽雾翼植皑江隐躯酷它牧拓撒外饥镣寥耙沽俄谨训铰喉玩加饮小习幅补誉神松枝踏聂少难汗束种缩韧洽通兜通憋俏薯厌盎包降没赠画冀诲沟漾捷咏翟凄臻丘澈湃愚得乃兜遮捂硼固尊灸裤央薯江旧菠误炎程馏眠疽晤旦努也园

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4、湘扛娶美茎啤党阂该字詹调棒封划盖狞垂拨祷思埔抒抠哦伯谈仑撬逛央圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当

5、焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明 设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）      当焦点内分弦时。如图1，，所以。  图1 （2）      当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。如图2，，所以。  图2 评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）             解 这里，所以，又，代入公式得，

6、所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（  ）             解 这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3（08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿  图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解 设直线与焦点所在的轴的夹角为

7、，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。 定理2 已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。 证明 设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得，，所以。  图4 （1）当焦点内分弦时。如图