专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题(原卷版)

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1、第六关以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。在中考中，往往作为压轴题的形式出现，也给很多中生造成了很大的压力。【解题思路】以二次函数

2、为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．【典型例题】【例1】如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点.(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存

3、在，请说明理由.【答案】（1）（4，2）；（2）6；（3）存在，P1（2，6），P2（2，－6）∴顶点坐标为：（4，2）；（2）令x2+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6，∴另一个交点C（6，0），∴AC=2，∴S△ABC=×2×6=6；（3）存在．分两种情况讨论：①显然过B作BP∥OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)；②过O作OP∥BC交对称轴于点P，∵OB∥PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，∴P(2，6)．综上所述：P（2，6）或P（2，－6）．【名师点睛】本题考查了待定系数

4、法求二次函数解析式以及平行四边形的判定方法，解题的关键是把已知点的坐标代入函数解析式，得到关于b、c的方程组．再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．【例2】如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△

5、APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由详见解析.【解析】试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式；（2）由解析式先求得点D、C坐标，再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式计算即可；（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等

6、，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在E函数上，所以代入即可求t，进而E可表示．试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴y=x2﹣x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，∵AP=AQ

7、=t，AP=EP，AQ=EQ∴AP=AQ=QE=EP，∴四边形AQEP为菱形，∵FQ∥OC，∴，∴∴AF=t，FQ=t∴Q（3﹣t，﹣t），∵EQ=AP=t，∴E（3﹣t﹣t，﹣t），∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）．考点：二次函数综合题．【名师点睛】本题考查了二次函数性质、求三角形的面积、菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．【例3】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），

8、顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．