浅析数值分析在数学建模中的应用

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1、浅析数值分析在数学建模中的应用　　在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的，下面是小编搜集的一篇关于数值分析在模型建立中的应用探究的论文范文，欢迎阅读参考。　　数值分析主要解释了现代科学计算中使用的数值计算规则及它的基本原理，研究并求解数值问题的近似解，是数学原理与计算机以及实际问题的有机结合[1]。随着现代科技的快速发展，运用数学思想解决科学技术和工程研究领域中的现实问题，已经得到广泛重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在模型构建的过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用

2、到数值分析课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、拟合法等。　　一、数值分析在模型建立中的应用　　在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程

3、。　　以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ(Δxk)=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为)

4、T是模型参数。已有一组已知数据(x1，，y1)，(x2，y2)，，(xk，，yk)，用最小二乘确定参数c，使e(c)=∑ki=1(yi-f(xi，c))2最小。函数f(x，c)称为数据(xi，，yi)(i=1，2，，k)的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f(x，c)具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e(c)cj=-2∑ki=1(yi-f(xi，c))f(xi，c)cj=0，j=1，2，，m。　　2.插值法求解　　在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即

5、不知道某函数y=f(x)的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据(x1，，y1)，(x2，y2)，，(xk，，yk)。要求一个函数　　yi=φ(xi)，i=0，1，，k，(2)　　这就是插值问题。函数yi=φ(xi)称为f(x)的插值函数。xi(i=0，1，，k)称为插值节点，式(2)称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。　　3.模型求解中的解线性方程组问题　　在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性

6、方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。　　迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭

7、代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型　　Ax=b　　其中A=a11a12a1na12a22an2an1a12ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rnn，可将A改写为迭代的形式　　x=Bx+f　　并由此构造迭代法　　xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，，　　其中B∈Rnn，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛

8、德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。　　由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB<1，则认为此迭代法收敛。　　4.数值积分在模型求解中的应用　　模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示