相似三角形___射影定理的运用

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时间:2018-11-27

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1、WORD格式整理相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍的效果。一般地,若将定理中的直角三角形条件非直角化,亦可得到类似的结论(这里暂且称之为射影定理的推广),而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路,熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理  射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边

2、所得两条线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图(1):Rt△ABC中,若CD为高,则有CD2=BD•AD、BC2=BD•AB或AC2=AD•AB。(证明略)二、变式推广  1.逆用  如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。    (证明略)  2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2))   如图(2):△ABC中,

3、D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。       (证明略)三、应用例1 如图(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:4DH•DA=BC2分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式(2),可得BD2=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。(证明略)  专业知识分享WORD格式整理例2

4、 如图(4):已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,求DC。  分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式(2)的条件,故有CD2=DE•DB,易求得DC=8  (解略)例3 已知:如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,    求证:DF2=CF•BF。    证明:连AF, ∵FH垂直平分AD,       ∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA,      ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,      ∴∠

5、FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,      ∵∠B=∠FDA-∠BAD,      ∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共,      ∴△AFC∽△BFA,∴=,∴AF2=CF•BF,∴DF2=CF•BF。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形中,斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上的一点,交AB于E,且AD=3.2cm,则DE=()A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1,在Rt中,CD是斜别AB上的高,在图中六条线段中,你认为只要知道()线段的长,就可以求其他线段的长    A、1     B、

6、2     C、3     D、4专业知识分享WORD格式整理3、在Rt中,,于点D,若,则(   )A、   B、    C、   D、4、如图1-2,在矩形ABCD中,,则(   )A、     B、    C、   D、【填空题】5、中,,于点D,AD=6,BD=12,则CD=   ,AC=,=。6、如图2-1,在Rt中,,,AC=6,AD=3.6,则BC=    .【解答题】7、已知CD是的高,,如图3-1,求证:专业知识分享WORD格式整理8、已知,,,是正三角形,求证:9、如图3-2,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中

7、点,,E是垂足,求证:专业知识分享WORD格式整理10、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:(1)△AED∽△CBM;(2)AE•CM=AC•CD.11、已知:如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,过点B做射线BG,交AD、AC于E、F两点,与过点C平行于AB的直线交于点G。求证:(1)BE2=EF•EG(2)若过点B的射线交ADAC的射线AD、AC的延长线分别于E、F两点,与过C平行于AB的直线交于点G,则()的结论是否成立,若成立,请说明理由。专业知识分享WOR

8、D格式整理参考答案1、C  2、B  3、C  4、C5、6、87、证明:在Rt中,由射影定律得,,在中,  又,8、证明:如图所示,在中,  ,专业

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