电动力学零二数学准备

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1、附录数学准备(二)矢量代数梯度、散度和旋度关于散度和旋度的一些定理算符运算公式曲线正交坐标系轴对称情形下拉普拉斯方程的通解并矢和张量1在一般曲线正交坐标系中，空间一点P的位置，用三个坐标表示5.曲线正交坐标系沿这些坐标增加方向的单位矢量单位矢量按一定规则改变方向2以极坐标为例3在P点上任一矢量可以写为沿这三个方向的线元4在曲线正交坐标系中有一般公式56常用的曲线正交坐标系：（1）柱坐标系78（2）球坐标系9106.轴对称情形下拉普拉斯方程的通解在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为11用分离变量法解

2、此方程。设此式左边为r的函数，右边为θ的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。12令此常数为n(n+1),则得两个方程：13容易求出解为任意常数，由边界条件确定14作代换变换角度方程15上式称为勒让德方程，只有当n为整数时才存在-1≤≤1区间的有限解，其解称为勒让德多项式，记为得通解16用简单方法求出Pn(cos)的显示式:当r≠0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。将下式描述的电势代入即可验证17对拉普拉斯方程作用算符为一解,若亦为一解亦为解18因此，拉普拉斯方程具有特解这些特解都具有形式…………………19

3、比较并按习惯定义所选的常数因子，得20可以证明Pn(cos)的一般表达式为217.并矢和张量一般,两矢量ab并列即为并矢并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢?即为并矢一变形物体在外力作用下其各部分有内力相互作用。为研究其内力，将变形物体沿某个截面切开，切面的法向单位为n。在截面上某一点单位面积上作用的力矢量为f。f对截面的拉伸：22并矢：两矢量并列，不做任何运算有9个分量23以动量流密度T来说明张量的意义设ABC为一面元S，这面元的三个分量分别等于OBC，OCA和OAB的面积。OABC是一个体积元V。2

4、4通过界面OBC单位面积流入体内的动量三个分量为T11，T21，T31通过界面OCA单位面积流入体内的动量三个分量为T12，T22，T32通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为T13，T23，T3325当体积V→0时，通过这三个面流入体内的动量等于从面元ABC流出的动量。因此，通过ABC面流出的动量各分量为26写成矢量形式为这就是通过面元s流出的动量。则通过闭合曲面内流出的总动量为张量T的分量Tij的意义：通过垂直于j轴的单位面积流过的动量i分量。27单位面积内力矢量28张量是具有9个分量的物理量当这

5、9个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张量。并矢是张量的一种特殊情形。29可参考平面向量(二维,2个分量)的旋转变换空间向量(三维,3个分量)的旋转变换30Ox’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角1、1、1Oy’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角2、2、2Oz’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角3、3、331一般张量可以写为（i,j=1，2，3)三个对角分量为1，其它分量为0。单位张量32可以作为张量的9个基直角坐标系的单位基矢是在这9个基上的分量33并矢与矢量的点乘是一个矢量。（2）张

6、量的代数运算并矢与矢量的点乘规则：一般而言34张量和矢量的点乘单位张量和任意矢量的点乘等于该矢量35两并矢的双点乘:两两缩并36（3）张量分析37关于张量和并矢有积分变换式38