第13章 静电场中的导体和电介质---教材习题.doc

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1、BoAPrArCrB图13.1第13章静电场中的导体和电介质13.1一带电量为q,半径为rA的金属球A,与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置,如图所示,则图中P点的电场强度如何?若用导线将A和B连接起来,则A球的电势为多少?(设无穷远处电势为零)解:过P点作一个同心球面作为高斯面,尽管金属球壳内侧会感应出异种,但是高斯面内只有电荷q.根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0,可得P点的电场强度为.当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时,外侧将出现同种电荷q.用导线将A和B连接起来后,正负电

2、荷将中和.A球是一个等势体,其电势等于球心的电势.A球的电势是球壳外侧的电荷产生的,这些电荷到球心的距离都是rc,所以A球的电势为.13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质,设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ,则通过介质内长为l,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少?圆柱面上任一点的场强为多少?DS1S2S0rR2R1εrl解:介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高

3、斯面,根据介质中的高斯定理,通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷,即Φd=q=λl.设高斯面的侧面为S0,上下两底面分别为S1和S2.通过高斯面的电位移通量为,可得电位移为D=λ/2πr,其方向垂直中心轴向外.电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr,方向也垂直中心轴向外.qobar图13.313.3金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为a、b,壳内距球心为r处有一点电荷q,求球心o的电势为多少?解:点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布,距离球心都为a.外壳上就有电荷q+Q,距

4、离球为b.球心的电势是所有电荷产生的电势叠加,大小为qABC图13.413.4三块平行金属板A、B和C,面积都是S=100cm2,A、B相距d1=2mm,A、C相距d2=4mm,B、C接地,A板带有正电荷q=3×10-8C,忽略边缘效应.求(1)B、C板上的电荷为多少?(2)A板电势为多少?解:(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2,所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S,在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2,由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S---------①,A、B间的场

5、强为E1=σ1/ε0,A、C间的场强为E2=σ2/ε0.设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等,设为ΔU,则ΔU=E1d1=E2d2---------②,即σ1d1=σ2d2-----------③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2),所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C);q2=q-q1=1×10-8(C).B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C);qC=-q2=-1×10-8(C).(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε

6、0S(d1+d2),由于k=9×109=1/4πε0,所以ε0=10-9/36π,因此ΔU=144π=452.4(V).由于B板和C板的电势为零,所以UA=ΔU=452.4(V).Pq1q2ABq图13.513.5一无限大均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体板B,板B有一定的厚度,如图所示.则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少?解:由于板B原来不带电,两边感应出电荷后,由电荷守恒得q1+q2=0---------①虽然两板是无限大的,为了计算的方便,不妨设它们的面积为S,

7、则面电荷密度分别为σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S,它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0.在B板内部任取一点P,其场强为零,其中1面产生的场强向右,2面和A板产生的场强向左,取向右的方向为正,可得E1-E2–E=0,即σ1-σ2–σ=0,或者说 q1-q2+q=0----------②,解得电量分别为q2=q/2,q1=-q2=-q/2.σ2σ1σ4σ3图13.613.6两平行金属板带有等异号电荷,若两板的电势差为120V,两板间相距为1.2mm,忽略边缘效应,

8、求每一个金属板表面的电荷密度各为多少?解:由于左板接地,所以σ1=0.由于两板之间的电荷相互吸引,右板右面的电荷会全部吸引到右板左面,所以σ4=0.由于两板带等量异号的电荷,所以σ2=-σ3.两板之间的场强为E=σ3/ε0,而E=U/d,所以面电荷密度分别为σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2),σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2).oR2R1R313.7一球形电容器,内外球壳半径

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