2016届绵阳一诊数学试题及答案

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1、绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBDBACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．13．a≥214．715．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵m⊥n，∴m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，即-cos2α+sinα-sin2α=0．……………………………………………………3分由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，∴，k∈Z.…………………………………………………………6分（2）∵m-n=(2cosα，

2、1-2sinα)，∴

3、m-n

4、=，………………………………………………………9分∴5-4sinα=3，即得，∴．……………………………………………………12分17．解：（1）由已知an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)．∴（常数）．………………………………………………………3分此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，于是an=2n-1．………………………………………6分（2）∵.…………………………………………………………………7分∴，两边同乘以，得两式相减得，∴．…………………………………………………………12分18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为

5、an，捐资总额为bn．则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n.……………………………2分∴当a=10时，an=10n+70，∴，解得：n>8．……………………………………………………………………5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元．…6分（2）由题意：(n>1)，即，………………………………………………8分整理得(5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，化简得80-5a>0，解得a<16，……………………………………

6、………………………………11分∴要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．  ……………………………………………12分19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=，.∵，∴=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得，即.………………………………………5分在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：，即，……6分∴，………………………7分令f(θ)=sin

7、(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，∵f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴0≤sin(2θ+60º)≤1，∴≤f(θ)≤，∴≤≤，∴≥，即的最小值为．……………………………………………12分20．解：（1），由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x

8、-2≤x≤1}，∴a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．于是，，得b=3a，c=-6a．………………………………………………………………2分∵3ax2+bx+c<0的解集为{x

9、

10、x<-2或x>1}，∴f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．∴当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1．……………………………………………………………………5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即．∴．…………………………………………………………7分令，∴．列表如下：x(-∞，-2)-2(-2，1)1(1，+∞)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗∴g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．………………

11、……11分又∵，g(-2)=10，g(0)=0，由题意知直线y=m与曲线有两个交点，于是0，∴当a<0时，，即f(x)在(0，+∞)上是增函数．当a>0时，x∈(0，)时，f(x)在(0，)上是增函数；x∈(，+∞)时，f(x)在(，+∞)上是减函数．∴综上所述，当a<0时f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，f(x)的单调递减区间为(，+∞)