自动控制理论例题集锦－第3章

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1、第3章线性系统的时域分析法例1一个温度计插入100℃水中测温，经3min后，指示95℃，如果温度计可视作一个一阶环节且，求：1.时间常数；2.时，单位阶跃响应是多少？3.如果给该容器加热，使容器内水温以℃的速度匀速上升，当定义时，温度计的稳态指示误差有多大？解:1.求时间常数。解法1.根据调节时间的定义，有解法2.依题意，一阶环节的标准数学模型为输入信号为，即，故有对其进行拉氏反变换，有依题意解得2.输入信号为，即，则有时3.水温以℃的速度匀速上升，表示输入信号为斜坡信号，即。一阶系统稳定，根据误差的定义，有因

2、为在平面右半平面及虚轴上（除原点外）解析，满足终值定理的应用条件，故有∞℃例2已知二阶系统的单位阶跃响应为试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。解:为便于计算，先求出正弦函数的拉氏变换，有对单位阶跃响应进行拉氏变换，得单位阶跃输入，系统的传递函数为典型二阶系统的传递函数为比较以上二式，有，，。则有超调量峰值时间调节时间例3已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性，并指出根的分布情况。1.2.3.4.解:1.由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半平

3、面。2.由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。3.由系统特征方程列写劳斯表因是一个很小的正数，所以，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。4.由系统特征方程列写劳斯表劳斯表的行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程

4、求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。求解辅助方程解得，因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半平面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6阶，故有两个根在左半平面。例4.已知系统结构图如图3-1所示，试确定闭环系统稳定性。图3-1解：由图3-5系统结构图，闭环系统的传递函数为可见系统的闭环极点有一个在右半平面，故系统不稳定。例5已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定和的值，使系统以2弧度/秒的频率持续振荡。解：系统的特征方程为即列写劳斯表依题意，系统以2弧度/秒等幅振荡，故

5、有（3-1）用行的上一行的系数构造辅助方程，有（3-2）由（3-2）式，有所以（3-3）由（3-1）、（3-3）式解得，和，。将两组解分别带入特征方程可知，，不符合题意。故使系统以2弧度/秒的频率持续振荡的，。例6单位负反馈系统的开环传递函数为其中、。1.试确定闭环系统稳定时，参数、应满足的关系，在坐标中画出使系统稳定的区域2.计算在输入作用下系统的稳态误差。解：1.系统的特征方程为即列写劳斯表根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元为正，考虑到、，可求得参数、应满足的关系为使系统稳定的、取值范围如图3-2中阴影

6、部分。图3-22.求系统稳态误差用静态误差系数法。因输入信号为单位斜坡信号，系统静态速度误差系数为稳态误差为例7设某复合控制系统的结构图如图3-3所示。图3-3其中，，。要求系统在扰动信号作用下的稳态误差为零，试确定顺馈通道的传递函数。解：令，用结构图等效变换或梅逊公式易求得扰动引起的系统输出为按扰动误差的定义，有系统的扰动输入信号为，即。应用终值定理，扰动作用下的稳态误差为依题意，故有例8单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图3-4所示。要求：1.确定系统的开环传递函数。2.求出系统在单位斜坡输入

7、信号作用下的稳态误差。图3-4解：1.由图3-4所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为，。由超调量及峰值时间的计算公式，有解得，rad/s。故系统的开环传递函数为2.单位斜坡输入信号，即。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态误差系数为例9　系统结构图如图3-5所示图3-5求：1.为使系统闭环稳定，确定的取值范围。2.当为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。3.为使系统的闭环极点全部位于平面的虚轴左移一个单位后的左侧，试确定的取值范围。【分析】本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列

8、各元均大于零时，系统稳定；当劳斯表出现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而系统所有特征根均位于的左侧，称为稳定度为1，可先进行坐标轴的平移，然后再用劳斯判据判稳。【解答】1.系统特征方程为列写劳斯表根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的的取值范围为2.求为何值时，系统出现等幅振荡，利用劳斯表求解。令劳斯表中行各元均为零，解得以行各元构造辅助函数，并将带入，有解