二节命题及其关系充分条件与必要条件

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1、第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．判断真假(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件；若p⇔q，则p是q的条件．(2)若，则p是q的条件．相同充分必要充要既不充分又不必要没有关系1．“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？【提示】不正确，①概念不同，命题

2、的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定．②构成不同，对于“若p，则q”形式的命题．命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，③真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关．2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？【提示】由逆命题为真，知q⇒p；逆否命题为假，知pD⇒/q；故p是q的必要不充分条件．【答案】A2．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”，的否命题是()A．若a＋

3、b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，将条件与结论进行否定．∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.【答案】A3．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝1”是“

4、a

5、＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】a＝1⇒

6、a

7、＝1；但

8、a

9、＝1⇒a＝±1；∴

10、a

11、＝1a＝1.

12、∴“a＝1”是

13、a

14、＝1的充分不必要条件．【答案】A【答案】充分不必要有下列四个命题，其中真命题有()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；A．①②B．②③C．①③D．③④【思路点拨】【尝试解答】①的逆命题“x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．②的否命题“不全等的两个三角形的面积不相等”是假命题．③的逆命题“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题．④的原命题是假命

15、题，知④的逆否命题是假命题．因此正确的命题为①③，错误命题为②④.【答案】C(2012·惠州模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x

16、ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真【解析】命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x

17、ax2＋bx＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题．但其逆命题：“若{x

18、ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不

19、等式ax2＋bx＋c＜0的解集非空时，可以有a＞0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．【答案】D【思路点拨】(1)准确理解〈x〉的含义是解题的关键．(2)是新定义型问题，准确理解信息“a与b互补”的含义．【答案】(1)B(2)C本例中若将第(1)题的条件改为“等比数列{an}中”，试判定“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的什么条件？【解】等比数列{an}中，an＝a1qn－1.由a1＜a2＜a3，得a1＜a1q＜a1q2.∴a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1.因此数列{an}是递增数列．

20、反过来，如果数列{an}递增，显然a1＜a2＜a3.所以“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件.【思路点拨】先解不等式，把命题p，q具体化，第(1)问利用真值表求x；第(2)问由互为逆否命题等价确定p、q之间的关系，列出关于a的不等式，问题可解．已知条件p：A＝{x

21、2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x

22、x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．易错辨析之一　充分必要条件颠倒致误(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝

23、f(x)

24、的图象

25、关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【错解】若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时

26、f(－x)

27、＝

28、－f(x)

29、＝

30、f(x)

31、，因此y＝

32、f(x)

33、是偶函数，其图象关于y轴对称．但当y＝

34、f(x)

35、的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x