求极限的方法与例题总结

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1、8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6=例7=。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时

2、，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例1.2.5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在

3、（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原

4、式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x=（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单

5、调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设，求极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。10. 夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。　　12. 

6、利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。　　　　8. 利用复合函数求极限