高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

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1、高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点不在定直线上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题

2、的关键。二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）（），其焦点为，准线为；（2）（），其焦点为，准线为；（3）（），其焦点为，准线为；（4）（），其焦点为，准线为.2.抛物线的标准方程的特点37高中数学讲义之解析几何抛物线的标准方程（）或（）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指

3、明了抛物线的开口方向.一、抛物线的性质以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：，；（2）顶点：坐标原点；（3）对称性：关于轴轴对称，对称轴方程为；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：；（6）焦点：；（7）准线：；（8）焦准距：；（9）离心率：；（10）焦半径：若为抛物线（）上一点，则由抛物线的定义，有；（11）通径长：.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线37高中数学讲义之解析几何（）的焦点和准线：为例，可求得其焦准距为；注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所

4、构成的弦。设抛物线的方程为（），过其焦点且不垂直于轴的直线交该抛物线于、两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径，，于是该抛物线的焦点弦长为.注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。设抛物线的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该抛物线于、两点（不妨令点在轴的上方），则、，于是该抛物线的通径长为.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为（），点是其焦点，直线：是其准线，若过该抛物线焦点的直线交该抛物线于、两点（即线段是该抛物线的焦点弦），并且点、点在其准线上的垂足分别为点、点，线段的中点为点，则可

5、以证明：（1），；（2）（这里，为直线的倾斜角）；37高中数学讲义之解析几何（1）（这里，为直线的倾斜角）；（2）以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切；（3），；（4）以线段为直径的圆切直线于点.证明：由于当直线的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线过点，我们可巧设其方程为，这里，为直线的倾斜角.（1）联立，得由韦达定理，有，故（2）由抛物线的定义，有（3）37高中数学讲义之解析几何（4）设的中点为则又这表明，的中点到准线：的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到准线：的距离等于圆的半径.

6、故以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切（5），，，37高中数学讲义之解析几何故，即又，，，于是故，即（4）这表明，的中点到点的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到点的距离等于圆的半径.故以线段为直径的圆切直线于点【例题选讲】题型1：抛物线定义的应用1.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为37高中数学讲义之解析几何由此可知，直线不垂直于轴，否则，与已知矛盾设，则线段的中点到轴的距离，并且由抛物线的定义，有，于是由，有故线段的中点到轴的距离1.设抛物线

7、的焦点为，准线为，点为该抛物线上一点，，点为垂足，如果直线的斜率为，那么=___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为由，可知，直线的方程为，即联立，得于是由于点知，将其代入方程中，得故由抛物线的定义，有2.已知以为焦点的抛物线上的两点、满足，则弦的中点到准线的距离为___________.37高中数学讲义之解析几何解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为设，则弦的中点到准线的距离，并且，于是由，有，又由可知，直线的斜率存在，不妨设为则直线的方程为，即联立，得由韦达定理，有而，于是，故弦的中点到准线的距离题型2：求抛物线

8、的方程1.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则该抛物线的方程是