小学奥数-几何五大模型(等高模型)

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1、.三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅

2、取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，

3、面积比等于它们的高之比．......【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别

4、以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积高高三角形ABC的面积高高三角形ADC的面积高高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。【例3】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。【解析】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)。【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。......【

5、解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米。【巩固】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是。【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为。【例1】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积。【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接、。∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【巩固】图中的、、分别是正方形三条边的三等分

6、点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是。【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段。把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形。这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等。因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是，阴影部分的面积

7、就是。【例2】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？......【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：可得：、、，而即；而，。所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法。找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：。【例1】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】（法1）特殊点法。由于为边上任意一点，找的特殊点，把点与点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是与的面积之和，而这两个三角形的面

8、积分别为长方形......面积的和，所以阴影部分面积为长方形面积的，为。（法2）寻找可利用的条件，连接、，如右上图。可得：、、，而，即；而，。所以阴影部分的面积是：。【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连