中考-预习复习-二次函数与-图形面积

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1、-二次函数与图形面积★1.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)、B(1，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，求m、n的值．解：(1)将点A(4，0)、B(1，3)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c得，解得，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x；(2)对称轴为直线x＝－＝－＝2，顶点坐标为(2，4)；(3)抛物线的对称轴为直线x＝2，设抛物线上的点P(m，n)在第四象

2、限，则点P关于直线l的对称点为E(4－m，n)，点E关于x轴的对称点为F(4－m，－n)，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，则S四边形OPAF＝S△AOF＋S△AOP＝×4×(－n)＋×4×(－n)＝－4n＝20，得n＝－5，将(m，－5)代入y＝－x2＋4x，解得m＝5或m＝－1.∵点P(m，n)在第四象限，∴m＝5，n＝－5.★2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O、B(1，3)、C-(2，2)，与x轴交于另一点N.(1)求抛物线的表达式；(2)连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，在抛物线上是否存在点P，使得S△OAP＝S△ONP，若存在

3、，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)将0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，可得，解得，∴所求抛物线的表达式为y＝－2x2＋5x；(2)存在，设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，将点B、C的坐标代入可得，解得，则y＝－x＋4.把x＝0代入y＝－x＋4得y＝4，∴点A(0，4)，-把y＝0代入y＝－2x2＋5x得x＝0或x＝，∴点N(，0)，设点P的坐标为(x，y)，S△OAP＝OA·x＝2x，S△ONP＝ON·y＝×·(－2x2＋5x)＝(－2x2＋5x)，由S△OAP＝S△ONP，即2x＝·(－2

4、x2＋5x)解得x＝0(舍去)或x＝1，当x＝1时，y＝3，∴存在点P，其坐标为(1，3)．★3.已知，m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m

5、A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)．将A(1，0)，B(0，5)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得，解得，∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；(2)令y＝－x2－4x＋5＝0，解得x1＝－5,x2＝1，∴C点的坐标为(－5，0)．由顶点坐标公式计算，得点D(－2，9)．如解图①，过D作x轴的垂线交x轴于点M.则S△DMC＝×9×(5－2)＝，S四边形MDBO＝×2×(9＋5)＝14，S△BOC＝×5×5＝，∴S△BCD＝S四边形MDBO＋S△DMC－S△BOC＝14＋－＝15；第3题解图①第3题解图②-(3)如解图②，设P点的坐标为(a，0)，∵直线BC

6、过B、C两点，∴BC所在直线的解析式为y＝x＋5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a＋5)，PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点H的坐标为(a，－a2－4a＋5)．由题意，得①EH＝EP，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝(a＋5)，解得a＝－或a＝－5(舍去)；②EH＝EP，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝(a＋5)．解得a＝－或a＝－5(舍去)．∴P点的坐标为(－，0)或(－，0)．★4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)、B(2，－)，其中点M是OA的中点．(1)求过A、B、O三点的抛物线L的表达式；(2)将抛物线L在x轴下方的部分沿x轴向

7、上翻折，得到一段新的抛物线L′，其中点B′与点B关于x轴对称，在抛物线L所在x轴上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的抛物线L′交于点D.当S△CDA-＝2S△MDA时，求点C的坐标．第4题图解：(1)由于抛物线L经过点A(4，0)、B(2，－)、O(0，0)，设抛物线L的表达式为y＝ax2＋bx.将点A(4，0)、B(2，－)代入抛物线中有：，解得，∴抛物线L的表达式为y＝x2－x；(2)∵抛物线L′是由抛物线L沿x轴向上翻折得到，∴抛物线L′的表达式为y＝－x2＋x(0≤x≤4)，如解图，过点C、D分别作x轴的垂线，垂