二次函数压轴题最短路径问题

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1、最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．当点P为直线AB′与直线l的交点时，PA＋PB最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小．过点A作AB⊥l，垂足为B，则线段AB即为所求．②如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．过点B作关于直线l的对称点B′，BB′与直线l交于点P，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．③如图所示，在∠

2、AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PC＋CD＋PD最小．过点P分别作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PC＋CD＋PD最小，则点C，D即为所求．④如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DE＋EF＋CF最小．分别过点C，D作关于AO，BO的对称点D′，C′，连接D′C′，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DE＋EF＋CF最小，则点E，F即为所求．..⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC＋BD最小的

3、CD的位置．分别过点A，D作AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与DA′交于点A′，再作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′与直线l交于点D′，此时点D′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（y＝x2）上的一点，点A（0，1）在y轴正半轴．点P在什么位置时PA＋PB最小？过点B作直线l：y＝－1的垂线段BH′，BH′与抛物线交于点P′，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．【典型例题】1．（13广东）已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（

4、0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．..【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋

5、PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）当P、C、D共线时

6、PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．【方法二】过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴＝，∴＝，解得：PO＝，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．..2．（11菏泽）如图，抛物线y＝x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2

7、）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．【思路点拨】（1）把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；（2）观察发现△ABC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B，C的坐标，再得出AB，AC，BC的长度，易得AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，连接C'D交x轴于点M，根据“两点之间，线段最短”可知MC＋

8、MD的值最小．求出直线C'D的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值．【解题过程】解：（1）∵点A（－1，0）在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×（－1）2＋b×（－1）－2＝0，解得b＝－，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2＝（x－）2－，∴顶点D的坐标为（，－）．（2）当x＝0时y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．当y＝0时，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，