公开课充要条件教案

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1、充要条件●教学目标（一）教学知识点（二）能力训练要求1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．●教学重点1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断． ●教学难点命题条件的充要性判断．  ●教学过程Ⅰ．复习回顾1、什么是充分条件和必要条件?2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．（2）若a＞b

2、，则a＋c＞b＋c．（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．Ⅱ．讲授新课§1.2.2　充要条件一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，“”叫做等价符号，“pq”表示“pq，且qp”．这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．命题（1）中因：a是无理数a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是

3、“a＋5是无理数”的充分必要条件．命题（2）中因“a＞ba＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋ca＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根Δ＞0”，又有“Δ＞0”“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．例1下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy

4、＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0x＝2或x＝3x－2＝0”；而“x－2＝0（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．命题（2）中因“同位角相等两直线平行”，所以p是q的充要条件．命题（3）中因“x＝3x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不

5、必要条件．命题（5）中因：p：x＝x2x（－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3．则有pq且qp．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．例2.已知p、q是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件问：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？例3.p：x∈{x

6、－1

7、a≤x≤a2+1}，若p是q的充分条件，求a的取值范围.解由“x∈M或x∈P

8、”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．则由x∈P，即x∈{x｜x＜3}x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．例4求证

9、a

10、＋

11、b

12、＝

13、a＋b

14、的充要条件是ab≥0.分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0．证明：①充分性．若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．若xy＞0

15、，则x，y同号．当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜综上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．②必要性∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2xy＝｜xy｜xy≥0．因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0．故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．也就是需

16、证明充分性：qp；必要性pq不能颠倒证反”．注：本题也可用绝对值的概念证明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2｜xy｜＝xyxy≥0．故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.课堂小结：1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p