小学奥数知识点归纳和总结

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小学奥数知识点归纳和总结二年级奥数知识点分类：一、运算符号类二、规律填数类三、规律画图类四、年龄问题类五、间隔问题类（含植树问题及智力计数）六、周期问题类七、有序思考类八、时钟问题类九、推理及思维训练类（包含算式类）十、和差问题类十一、和倍问题类十二、差倍问题类十三、一笔画类十四、移动变换类十五、智力趣味类（包含巧切西瓜）十六、鸡兔同笼类十七、盈亏问题类十八、应用类（含数量关系、重叠问题、）三年级奥数知识点分类：一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。  二、应用题类   从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。   (1)和倍、差倍问题：   用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，   和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。  三、 差倍问题：小数=差÷(倍数-1)   (2)年龄问题：   教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。   (3)盈亏问题：   介绍盈亏问题的主要形式   (双盈、双亏、一盈一亏)   分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。   (4)植树问题：   总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：   总长=株距×段数， 封闭图形：棵数=段数   不封闭图形： ..   两头都栽：棵数=段数+1   两头都不栽：棵数=段数-1   一头栽一头不栽：棵数=段数   (5)鸡兔同笼问题：   介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，   揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，   假设法   (6)行程问题：   相遇问题、追及问题等，   相遇时间=总路程÷速度和，   追及时间=距离÷速度差。   (7)周期问题   (8)还原问题   (9)归一问题   (10)体育比赛中的数学、趣题巧解   几何类   三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积   数论类   现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。四年级奥数知识点分类：1.圆周率常取数据3.14×1＝3.143.14×2＝6.283.14×3＝9.423.14×4＝12.563.14×5＝15.73.15×6＝18.843.14×7＝21.983.14×8＝25.123.14×9＝28.262.常用特殊数的乘积125×8＝100025×4＝100125×3＝375625×16＝100007×11×13＝100125×8＝200　125×4＝50037×3=1113.100内质数：23571113171923293137414347535961677173798389974.单位换算：1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码1公里=1000米=2里1码=3英尺=36英寸1海里=1852米=3.704里=1.15英里1平方公里=1000000平方米=100公顷=4平方里=0.3861平方英里1平方米=100平方分米=10000平方厘米.. 1公顷=100公亩=15亩=2.4711英亩1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米1立方米=27立方尺=1.308立方码=35.3147立方英尺1吨=1000公斤=1000千克1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅5.加减法运算性质：同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。6.乘除法运算性质乘法中性质：（1）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号；7.等差数列数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，相邻两个数的差都相等，我们就把这样的一列数叫做等差数列，等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。等差数列中相邻两项的差叫做“公差”，等差数列中项的个数叫做“项数”。公式：和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1第n项=首项+（n-1）×公差8.和倍问题己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数，最好采用画线段图的方法。和倍公式：和÷（倍数＋1）=小数9.差倍问题己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。差倍公式：差÷（倍数－1）=小数10.和差问题和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。解答和差问题的基本公式是：（和－差）÷2=较小数（和＋差）÷2=较大数九、11.年龄问题己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是：一般用和差或者和倍问题的方法解答。（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。年龄问题的解题方法是：几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差12.平均数.. 求平均数必须知道总数和份数，常用公式：平均数=总数÷份数总数=平均数×份数份数=总数÷平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、13.相遇与追及问题路程=速度×时间  时间=路程÷速度  速度=路程÷时间。相遇问题它的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：速度和×相遇时间=路程  路程÷速度和=相遇时间  速度÷相遇时间=速度和 追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题的基本数量关系是：追及时间=追及路程÷速度差  追及路程=速度差×追及时间  速度差=追及路程÷追及时间14.行船问题 船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行 程问题，叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于顺水速度 是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。船速=（顺水速度＋逆水速 度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2   因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速 度×时间 15.过桥问题 过桥问题的一般数量关系是：路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车 长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×通过时间－车长 16.植树问题 在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：（1）两 端都种树 段数=棵数－1 （2）一端种一端不种 段数=棵数（3）两端都不种段数=棵数＋1（4） 在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数 17.还原问题 还原问题又叫逆推问题。己知一个数的结果，再经过逆运算反求原 数，叫做还原问题。解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。 18.方阵问题 很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件 求总人数，这类题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。方阵问题的基本特点是： （1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。（2）每层人数=（每边人数－1）×4 （3）每边人数=每层人数÷4＋1 （4）实心方阵人数=每边人数×每边人数 19.幻方与数阵 .. 幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相 等。这相相等的和叫“幻和”。两种方法：奇阶：1、九子排列法2、罗伯法，3、巴舍法。偶阶：1、对称交换法2、圆心方阵法。数阵有三种基本类型：（1） 封闭型，（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。一般答案不唯一。 20.奇数与偶数 加法：偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数减法：偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数乘法：偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数盈亏问题解 21.盈亏问题 通常是比较法和对应法结合使用。公式是：（同盈同亏用减法，一亏 一盈用加法）即：两次分配结果差÷两次分配数差=人数 22.牛吃草问题 牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。B.新长出的草。C.牛 吃掉的草。牛吃草问题解法一般分为三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出最终的问题。（类似于行程问题中的追及问题） 23.还原问题 解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运 算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。 24.假设问题 假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依 据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。 25.余数问题 一个带余数除法算式包含4个数：被除数÷除数=商„„余数。它们 的关系也可表示为：被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。 26.一笔画和多笔画 （1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一 偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。 （2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另 一个奇点为终点。 （3）多 笔画定理 有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完. 27.抽屉原理 抽屉原则一：把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少 有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 抽屉原则二：把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或 更多的）苹果。 说明：应用 抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考28.分解因式把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一个自然数 的约数的个数，恰为各个质因数的指数加1.. 后的乘积。一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。一个完全平方数各个 质因数的个数都是偶数。 29.最大公约数与最小公倍数 求两个数的最大公约数一般有三种方法：（1）分解质因数法（2） 短除法（3）辗转相除法 30.分数的比较 分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。分子相同的分数比 较大小，分母大的分数反而小。分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。 性质： 1.一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。 2.一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分数比原分数小。 3.一个假分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比原分数大。 4.一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。 31.剪纸问题 公式：2对折后剪的次数+1=段数。 32.最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来， 然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极 端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 33.比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的 “放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种 方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。 34.钟表问题 解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转 化为相遇或追及问题来解答。需记住以下常用数据：钟表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6度。，分针每分钟走：6度；时针每分钟走：0.5 度；速度差：5.5度 2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。 35.分数应用题的计算 解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1” 的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。 2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。 3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。 36.利润问题 解答利润问题你必须理解以下的关系式。 （1）利润=卖价－成本 （2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪ （3）卖价=成本×（1＋利润率） .. （4）成本=卖价÷（1＋利润率）  （5）折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) （6） 利息＝本金×利率×时间  （7） 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 37.浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量  溶质的重量÷溶液的重量 ×100%＝浓度   溶液的重量×浓度＝溶质的重量  五年级奥数知识点分类：1.和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件：几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系公式：①（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数②（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数和-小数=大数差÷（倍数-1）=小数小数×倍数=大数小数+差=大数关键问题：求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2.年龄问题的三个基本特征：　　①两个人的年龄差是不变的;　　②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;　　③两个人的年龄的倍数是发生变化的;3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;4.植树问题基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数=段数+1　　棵距×段数=总长棵数=段数-1　　棵距×段数=总长棵数=段数　　棵距×段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：　　①把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.. 　　②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6.盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。基本题型：　　①一次有余数，另一次不足;　　基本公式：总份数=（余数+不足数）÷两次每份数的差　　②当两次都有余数;　　基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差　　③当两次都不足;　　基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差　　基本特点：对象总量和总的组数是不变的。　　关键问题：确定对象总量和总的组数。7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;关键问题：确定两个不变的量。基本公式：　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;8.周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366天;　　①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;平年：一年有365天。　　①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;基本公式：①平均数=总数量÷总份数　　总数量=平均数×总份数　　总份数=总数量÷平均数　　②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：　　①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算。　　②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。.. 10.抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。　　例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n》m，那么必有一个抽屉至少有：　　①k=［n/m］+1个物体：当n不能被m整除时。　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：［X］表示不超过X的最大整数。　　例［4.351］=4;［0.321］=0;［2.9999］=2;关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算11.定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②个新定义的运算符号只能在本题中使用。12.等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示。基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+（n-1）d;通项=首项+（项数一1）×公差;数列和公式：sn，=（a1+an）×n÷2;数列和=（首项+末项）×项数÷2;项数公式：n=（an+a1）÷d+1;　　项数=（末项-首项）÷公差+1;公差公式：d=（an-a1））÷（n-1）;　　公差=（末项-首项）÷（项数-1）;关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;13.二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。.. 　　=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100　　注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。　　（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7　　+……+A3×22+A2×21+A1×20　　注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：　　①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。　　②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14.加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.。..。..+mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.。..。..×mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点;没有长度。　　①数线段规律：总数=1+2+3+…+（点数一1）;　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;　　③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：　　④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数15.质数与合数　　质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。　　合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。　　质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。　　分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。　　分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1《……《p》　　求约数个数的公式：P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）　　互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。.. 16.约数与倍数　　约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。　　公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。　　最大公约数的性质：　　1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。　　2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。　　3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。　　4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。　　例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;　　18的约数有：1、2、3、6、9、18;　　那么12和18的公约数有：1、2、3、6;　　那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6;　　求最大公约数基本方法：　　1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。　　2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。　　3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。　　公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。　　12的倍数有：12、24、36、48……;　　18的倍数有：18、36、54、72……;　　那么12和18的公倍数有：36、72、108……;　　那么12和18最小的公倍数是36，记作［12，18］=36;　　最小公倍数的性质：　　1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。　　2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。　　求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法17.数的整除　　一、基本概念和符号：　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;　　二、整除判断方法：　　1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。　　2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。　　3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。　　4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。　　5.能被7整除：　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。　　6.能被11整除：.. 　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。　　7.能被13整除：　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。　　三、整除的性质：　　1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。　　2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18.余数及其应用　　基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0《p》　　余数的性质：　　①余数小于除数。　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。19.余数、同余与周期　　一、同余的定义：　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。　　二、同余的性质：　　①自身性：a≡a（modm）;　　②对称性：若a≡b（modm），则b≡a（modm）;　　③传递性：若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）;　　④和差性：若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）;　　⑤相乘性：若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）;　　⑥乘方性：若a≡b（modm），则an≡bn（modm）;　　⑦同倍性：若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）;　　三、关于乘方的预备知识：　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md　　四、被3、9、11除后的余数特征：　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）;　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）;　　五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（modp）。.. 20.分数与百分数的应用　　基本概念与性质：　　分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。　　分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。　　分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。　　百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。　　常用方法：　　①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。　　②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。　　③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。　　④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。　　⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。　　⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。　　⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。　　⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21.分数大小的比较　　基本方法：　　①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。　　②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。　　③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。　　④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。　　⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）　　⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。　　⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。　　⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。　　⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。　　⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22.分数拆分　　一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：　　①=+;　　②=+（d为自然数）;23.完全平方数　　完全平方数特征：　　1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。.. 　　2.除以3余0或余1;反之不成立。　　3.除以4余0或余1;反之不成立。　　4.约数个数为奇数;反之成立。　　5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。　　6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。　　7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。　　平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）　　完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2　　完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224.比和比例　　比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。　　比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。　　比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。　　比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或　　比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad=bc。　　正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。　　反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。　　比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。　　按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25.综合行程　　基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。　　基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间　　关键问题：确定运动过程中的位置和方向。　　相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）　　追及问题：追及时间=路程差÷速度差（写出其他公式）　　流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间　　逆水行程=（船速-水速）×逆水时间　　顺水速度=船速+水速　　逆水速度=船速-水速　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2　　流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。　　过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。　　主要方法：画线段图法　　基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26.工程问题　　基本公式：　　①工作总量=工作效率×工作时间　　②工作效率=工作总量÷工作时间.. 　　③工作时间=工作总量÷工作效率　　基本思路：　　①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;　　②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。　　关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。　　经验简评：合久必分，分久必合。27.逻辑推理　　基本方法简介：　　①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。　　②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。　　③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。　　④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。　　⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28.几何面积　　基本思路：　　在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。　　常用方法：　　1.连辅助线方法　　2.利用等底等高的两个三角形面积相等。　　3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。　　4.利用特殊规律　　①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）　　②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。　　③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29.立体图形　　名称图形特征表面积体积　　长方体8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2（ab+ah+bh）V=abh=Sh　　正方体8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a3　　圆柱体上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底　　S侧=ChV=Sh.. 　　圆锥体下底是圆;只有一个顶点;l：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底　　S侧=rlV=Sh　　球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r330.时钟问题—快慢表问题　　基本思路：　　1、按照行程问题中的思维方法解题;　　2、不同的表当成速度不同的运动物体;　　3、路程的单位是分格（表一周为60分格）;　　4、时间是标准表所经过的时间;　　合理利用行程问题中的比例关系;六年级奥数知识点分类：1.不定方程    一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；    常规方法：观察法、试验法、枚举法；    多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；    多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；    涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；    解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；    技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显一、分数百分数问题，比和比例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题。二、计算问题计算问题通常在前几个题目中出现概率较高，主要考察两个方面，一个是基本的四则运算能力，同时，一些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。我们应该重点掌握以下内容：计算基本功的训练；利用乘法分配率进行速算与巧算；分小数互化及运算，繁分数运算；估算与比较；计算公式应用。如等差数列求和，平方差公式等；裂项，换元与通项公式。三、几何问题.. 几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容：等积变换及面积中比例的应用；与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题。四、数论问题常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数一定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个方法可以用在许多题目中，包括一些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会用分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最大公因数和最小公倍数；学会求约数个数的方法，为了提高灵活运用的能力，需了解这个方法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下面的这个性质是非常有用的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求一个多位数除以一个较小的自然数所得的余数问题，例如求1011121314…9899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题。五、行程问题应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题。的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；六、不定方程    一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；    常规方法：观察法、试验法、枚举法；    多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；    多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；    涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；    解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；    技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显七、约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。  ..   公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。    最大公约数的性质：    1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。    2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 ..