函数和方程教(学)案

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1、函数与方程一、要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_f(x)=0_成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与_x轴_有交点⇔函数y=f(x)有__零点__.(3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有___f(a)·f(b)<0____,那么函数y=f(x)在区间__(a,b)___内有零点,即存在c∈(a,b),使得__f(c)=0__,这个_c__也就

2、是f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且____f(a)·f(b)<0____的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二___,使区间的两个端点逐步逼近_零点_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注:1.函数的零点不是点函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与

3、x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是一个数字,而不是一个坐标.2.零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.这就是零点存在性定理.满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,f(a)·f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以

4、我们说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.二、基础检测1.(课本改编题)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间__(1.25,1.5)__.2.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_-,-__.3.已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N*),则k的值为___3__.4.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两

5、个零点,则实数a的取值范围是_a>1___.5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是_(-2,0)__.题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];(2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].解:(1)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.(2)设y=log2(x+2),y=x,

6、在同一直角坐标系中画出它们的图像,从图像中可以看出当1≤x≤3时,两图像有一个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.(1)(2010·天津)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( B ) A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)(2)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( D )A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点题型二 函数零点个数的判断例2 若定义

7、在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3

8、x

9、的零点个数是____4____.(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( B )A.6B.7C.8D.9题型三 二次函数的零点分布问题例3 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围;(2)若方程两根均在区间(0

10、,1)内,求m的范围.解:(1)由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得⇒即m的取值范围{

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