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《2004年数学四试题分析、详解和评注 数一至数四真题+详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若，则a=，b=.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a=1.极限化为，得b=-4.因此，a=1，b=-4.【评注】一般地，已知＝A，(1)若g(x)®0，则f(x)®0；(2)若f(x)®0，且A¹0，则g(x)®0.完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题，《考研数学大串讲》P12例17、19.(2)设，则.
2、【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为，，所以，.【评注】本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3)设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x-1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x-1=t，15＝.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题，P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4）设，，其中为三阶可逆矩阵, 则 ．【分析】将的幂次转化为的幂次,并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为
3、,.故,.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13.(5)设是实正交矩阵，且，，则线性方程组的解是 ．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解】因为,而且是实正交矩阵,于是,的每一个行(列)向量均为单位向量,所以.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版,世界图书出版公司)P.174例33.15(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于,的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.二、选择
4、题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在(a,b)内有界.【详解】当x¹0,1,2时，f(x)连续，而，，，，，所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在开区
5、间(a,b)内有界.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51第15题.(8)设f(x)在(-¥,+¥)内有定义，且，，则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]15【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为=a(令)，又g(0)=0，所以，当a=0时，，即g(x)在点x=0处连续，当a¹0时，，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性与a
6、的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35.(9)设f(x)=
7、x(1-x)
8、，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[C]【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查
9、f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设00，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点.显然，x=0是f(x)的不可导点.当xÎ(-d,0)时，f(x)=-x(1-x)，，当xÎ(0,d)时，f(x)=x(1-x)，，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.完全
