外接球问题典型例题

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1、在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A．B．C．D．【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.【答案解析】A解析：解：直三棱的各顶点都在同一球面上，（如图），∵中，，∴下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以⊥平面再取中点，可得：点到的距离相等，∴点是三棱柱外接球的球心∵中，，，∴，即外接球半径，因此，三棱柱外接球的球的体积为：．故选：A．【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段的中点．在直角中，利用勾股定理算出的长，即得外接球半径的大小，再用球的体积

2、公式即可算出所求外接球的体积．四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积（）A．25pB．45pC．50pD．100p【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.Leizi【答案解析】C解析：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以,,为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R

3、2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为　　　　．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，∴棱长为的正四面体的外接球半径为．所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．已知正三棱锥ABC，点P，A，

4、B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。【答案】【点评】Leizi本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）（A）（B）（C）（D）1.A根据题意，如图，可知中，，在中，,又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为

5、2，则该球的表面积为（）LeiziA．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：Leizi其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则，得x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的

6、表面积S=4π×=.【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.如图，三棱锥中，，它的三视图如下，求该棱锥的正视图俯视图侧视图（Ⅰ）全面积；（Ⅱ）内切球体积；（Ⅲ）外接球表面积．【知识点】根据三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系，几何体内切球半径、外切球半径的求法.【答案解析】(1)　；(2)；(3)　．解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，顶点P在底面上射影

7、是底面直角三角形斜边中点E，且高为4的三棱锥。侧面PAB、PAC的高都是5，底面斜边长，所以全面积为：：（2）设内切球球心O,半径r，则由得Leizi，解得r=,所以内切球体积为（3）设外接球球心M，半径R,M在高PE所在直线上，因为4<,所以,解得R=，所以外接球表面积为。【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求