数学理卷·2011届湖南长郡中学高三第四次月考（2010.12）

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1、湖南长郡中学 2011届高三第四次月考 数学试题（理）（考试范围：集合与逻辑、算法与框图、函数、三角函数、平面向量、数列、推理与证明、不等式、计数原理、概率与统计、空间几何及空间向量、4—1、4—4、4—5）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时间120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合表示实数集，且，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．为R上的减函数B．为R上的减函数C．P=1，f（x）为R上的增函数D．P

2、=-1，f（x）为R上的增函数3．函数，则y（）A．有最小值-1，无最大值B．有最大值1，无最小值C．有最小值，最大值1D．有最小值-1，最大值4．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。由于不小心，表格中A、C产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是（）产品类别ABC产品数量（件）1300样本容量（件）130A．900件B．800件C．90件D．80件5．如图，AC为⊙O的直径，于P点，PC=2，AP=8，则BC的长为（）A

3、．B．3C．4D．6．已知是三条不重合的直线，是三具不重合的平面，给出下列四个命题：第9页共9页①若②若直线m，n与平面α所成的角相等，则m//n；③存在异面直线m，n，使得m//α，m//β，n//β，则α//β；④若；A．1B．2C．3D．47．已知向量⊥c，

4、a+c

5、=,则mt的取值范围是（）A．B．C．[—1，1]D．（—1，1）8．将正整数排成下表：123445678910111213141516……则数表中的数2010出现在（）A．第44行第75列B．第45行第75列C．第44行第74列D．第45行第74列二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35

6、分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。9．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150人，那么该校老师人数为人。10．定义其种新运算“”：S=的运算原理为如图的程序框图所示，则式子－=。11．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为。12．已知函数2+ax－b，若a,b均在区间[0，4]内取值，则成立的概率是。13．如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积为。第9页共9页14．设x，y，z为实数，则的最大值为。15．在正方体ABCD—A1B1C1D1。棱长为1，过对角线B

7、D1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，以下结论正确的是（请写出所有正确结论的序号）（1）四边形BFD1E一定是平行四边形（2）四边形BFD1E有可能为正方形（3）四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形（4）四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D（5）四边形BFD1E最小面积为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在（1）求的值；（2）求的值。17．（本小题满分12分）第9页共9页甲、乙两位工人参加技术培训，现分别从他们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8279

8、889581789384乙9275958083808590（1）有茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；（2）若将频率视为概率，对甲工人在今后的3次技术竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E。18．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在AB上移动。（1）证明：；（2）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为45°。19．（本小题满分13分）如图所示，三台机器人M1、M2、M3和检测台M（M与M1、M2、M3均不能重合）位于一条直线上三台机器人需把各自生产的零

9、件送交M处进行检测，送检程序设定；当M1把零件送达M处时，M2即刻自动出发送检，当M2把零件送达M处时，M3即刻自动出发送检，设M2的送检速度，且送检速度是M1的2倍，M3的3倍。第9页共9页（1）求三台机器人M1、M2、M3把各自生产的零件送达检测台M的时间总和；（2）现要求三台机器人M1、M2、M3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上位置。20．（本小题满分13分）已知数列（1）计算的值，并求数列的通项公式；（2）求证：21．（本小题满分13分）已知实数上的增函数，设函数（1）求a的值并写出的表达式；（2）求证：当；第9页共9页（3）设是否存在相

10、等的两项？