圆的知识点总结与典型例题

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1、圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］ 1.圆的有关概念：   圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；   弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；   圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2.圆的对称性   圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；   圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；   圆具有旋转不变性。 3.圆的确定   不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4.垂

2、直于弦的直径   垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；   推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；   （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；   （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。   垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。   推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5.圆心角、弧

3、、弦、弦心距之间的关系   定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。   推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。   此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。   圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6.圆周角   定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的

4、圆心角的一半；   推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；   推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；   推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。   圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7.圆内接四边形的性质   圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8.轨迹 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以

5、这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。图1   ①若AB＝，ON＝1，求MN的长；   ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。   解：①∵AB＝，半径OM⊥AB， ∴AN＝BN＝   ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2   ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1   ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴

6、∠AOM＝60°   ∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝   ∴   说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsinn°＝2htann°＝  例2.已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作C

7、E⊥AB于点E，交于点F。图2－1   ∴   又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°   ∴的度数为25°，∴的度数为50°。   解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED图2－2   ∵AE是直径，∴∠ADE＝90°   ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°   ∴的度数为50°。   解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD图2－3   ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°   ∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°   ∴∠ACD＝50°，∴

8、的度数为50°。 例3.已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可