第1.2章习题解答.doc

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1、平几习题集解答第一章习题练习1（面积法）1．已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足。求证：DG=BH。证明：连DF、BE，那么所以。但AF=AE，于是BH=DG。2.设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC于E。求证：EC=2AE。证明：因为BD=DC，AF=FD，故。3．已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。求证：GB平分∠AGC。证明：连BE、BF，则。另一方面，所以sin∠BG

2、C=sin∠AGB，即∠BGC=∠AGB。所以BG平分∠AGC。4．P是ΔABC中∠A的平分线上任意一点。过C引CE//PB，交AB的延长线于E，过B引BF//PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。证明：如图，，故所以BE=CF。5．E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。证明：由P、E、M共线，得，故。由F、Q、M共线，得，故。所以。因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。6．AD是ΔABC的中线

3、，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：。证明：因为CD=DB，所以。7．P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。求证：PE：PF=BC：AB。证明：因为ABCD是平行四边形，故。另一方面，由PE⊥AB，PF⊥BC，知，所以。8．ΔABC中，∠ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CE⊥AD，分别交AB、AD于E、F。求证：AE=2BE。证明：因为CD=BD，故。另一方面，AC⊥CD，CF⊥AD，故ΔAFC∽ΔCFD。所以。故AE=2EB。9．已知：在ΔABC中，AB=AC

4、，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。证明：连AP，那么由，得AC·BF=AB·PD+AC·PE。又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。10．设O是ΔABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证：。证明：如图，11．设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：。证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ//

5、OA。同理，PT//OA。于是所以。12．在ΔABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE//BC，在AB上取点F，使。求证：AD2=AB·BF。证明：因为SΔADE=SΔBFC，2SΔADE=AD·DEsin∠ADE，2SΔBFC=BF·BCsin∠B，所以AD·DEsin∠ADE=BF·BCsin∠B。由因为DE//BC，所以∠ADE=∠B，，所以，即AD2=AB·BF。13．AD是RtΔABC的斜边BC上的高，E是CB的延长线上一点，且∠EAB=∠BAD。求证：。证明：AB⊥AC，AB平分∠DAE，所以。另一方

6、面，ΔAEB∽ΔCEA。所以。所以。14．过平行四边形ABCD的顶点A引直线交BD于P，交DC于Q，交BC的延长线于R。求证：。证明：因为AD//BC,AB//CD，所以ΔPQD∽ΔPAB。从而。15．已知：AT与ΔABC的外接圆相切于A，与CB的延长线交于T。求证：。证明：因为TA是切线，所以ΔTAB∽ΔTCA，所以。练习2（代数法）1.在锐角ΔABC中，AD、CE是两条高，交点为H，且AD=BC，M是BC边的中点。求证：MH+DH是BC的一半。证明：设AD=BC=2x，MD=y。易知ΔCDH∽ΔADB，从而有，即

7、有（1）。又由勾股定理得，即（2）。（1）+（2）得。所以。2.ΔABC为等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上。求证：ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。证明：如图，设ΔABC的边长为a，AF=x,，BD=y,，CE=z，EF在BC边上的投影为MN，那么同理，。。所以。所以ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。3.已知a、b、c和a′,b′,c′分别为ΔABC和ΔA′B′C′的三边，且对于任意实数x都为定值。求证：ΔABC∽ΔA′B′C′。证明：设定值为m（≠0），那么，即。因为此式对任意实数都成立，所以。

8、所以，从而ΔABC∽ΔA′B′C′。4．AB是⊙O的直径，过A、B引圆的切线AD、BC，又过弧AB上任一点E的切线与AD、BC相交于D、C。求证：2OE≤CD。证明：过O作OM//BC交CD于M，则M是CD的中点。因为OE⊥CD，所以OE≤OM。由梯形的性质得，所以2OE≤CD。5．ABCD是圆内接四边形，对角线AC⊥BD。求证：2SABCD=