经典空间向量知识点归纳总结

《经典空间向量知识点归纳总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、WORD格式-可编辑空间向量知识点归纳总结空间向量的基本概念及运算知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行

2、向量，平行于，记作。当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。专业知识--整理分享WORD格式-可编辑4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把

3、叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。专业知识--整理分享WORD格式-可编辑（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：①若，

4、，则，，，，，。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。（6）两点间的距离公式：若，，则，或7.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，专业知识--整理分享WORD格式-可编辑显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（

5、4）空间向量数量积的性质：①。②。③。（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。例1如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED⊥面A1D1F解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1）∵·=（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F专业

6、知识--整理分享WORD格式-可编辑∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F例2棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求<>；3）求点A到EF的距离分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解解：以

7、D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）=（1，0，-2），

8、

9、=2，

10、

11、=，=-4,=1-2=-1，所以（1）=（2）cos<>==-,所以<>=-arccos(3)在上的射影的数量cos<>==专业知识--整理分享WORD格式-可编辑A到EF的距离=例3在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SC⊥BC；（

12、2）求SC与AB所成角的余弦值解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），∴=（2，，－2），=（－2，，0）（1）∵·=0，∴SC⊥BC（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，

13、

14、

15、

16、=4，∴cosα=，即为所求解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥B