传染病传播的数学模型

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1、第30题传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，Hk表示在开始观察后第k天传染病人的人数，Ik表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么Sk+1=Sk-0.01Sk(1)Hk

2、+1=Hk-0.2Hk＋0.01Sk(2)Ik+1=Ik+0.2Hk(3)其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2Hk(假设该病的患病期为5(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。将(1)，(2)和(3)式化简得如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值

3、，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组Sk，Hk，Ik的值。因此，我们把Sk+1，Hk＋1，Ik+1和Sk，Hk，Ik之间的关系式叫做递推关系式。现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。

4、如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。在上述模型中，易受感染者每天的发病率是1％，它只与易受感染者的人数Sk有关。对于有些传染病，情形更为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数Hk有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病率也就越高。这样，就必须将由(1)，(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总

5、数为N，是一个常数。于是，Sk=N-(Hk＋Ik)(7)其中Ik为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为α，则Ik+1=Ik+αHk(8)最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数Sk和传染病人的人数Hk均成正比，且其比例因子为β，那么Hk+1=Hk+βSkHk-αHk(9)将(7)，(8)和(9)组合起来，就得到关于Sk，Hk，Ik的递推关系式：如果已知N，α和β，并给定S0，H0和I0，那么利用上式就可以计算H1和I1，利用H1和I1，由(7)式，可以计算S

6、1，然后计算H2和I2，再计算S2，……这样，(10)式就给出了关于传染病传播的第2个数学模式。利用数学模型(4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。设ΔSk=Sk＋1-Sk表示从第k天到第k+1天易受感染者人数的变化，ΔIk=Ik+1-Ik表示从第k天到第k＋1天免疫者(或感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到ΔSk=-0.01Sk≤0ΔIk=0.2Hk≥0所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(10)式来说，易受感

7、染者的人数，免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？分析：类似于数学模式(4)式的情形，分别计算ΔSk，ΔIk与ΔHk(=Hk+1-Hk)，然后加以分析。解由(10)式得：ΔSk=N-(Hk+1＋Ik+1)-[N-(Hk+Ik)]=(Ik-Ik+1)+(Hk-Hk+1)=-αHk-βSkHk+αHk=-βSkHk所以ΔSk≤0，k=1，2，…，即易受感染者人数只可能减少不会增加。因为ΔIk=Ik+αHk-Ik=αHk所以ΔIk≥0，k=1，2，…，即免疫者人数只可能增加不会减少。现在设Δ

8、Hk=Hk+1-Hk表示从第k天到第k＋1天传染病人的人数的变化，则由(10)式得Hk=βSkHk-αHk=(βSk-α)Hk，所以当(βSk-α)＞0时，传染病人的人数第k＋1天比第k天增加；当(βSk-α)＜0时，传染病人的人数相应地减少，也就是说，当易受感染者人数Sk“大”时，可使(βSk-α)＞0，从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数Sk“小”时，可使(βSk-α)＜0，从而传染病人的人数减少。解一元一次不等式βSk-α＞0(或βSk-α＜0)得如，打预防针等)，那么可以降低发病率