澄清概率中的几个认识问题

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1、数学随笔中学数学文摘2006年第4期澄清概率中的几个认识问题江苏孔凡海由于种种原因，现行中学数学的概率内容教学，还停留在对古典概率问题的计算技能训练和一些概率概念的死记硬背上，学过概率的学生在现实生活中遇到随机现象问题时，仍然不会应用已经学过的概率知识，“仍然保持着他们在学习以前对随机现象问题的迟钝和误解”.教师在概率教学中，要经常了解和纠正学生对概率已有的错误经验和直觉.问题1“等可能性”不好把握吗？“等可能性”是一种假设，是一种理想状态，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各种基本事件是等可能的.在

2、许多场合，由对称性或某种均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上计算各事件的概率.例如掷一枚质量均匀的硬币，它落地后总是正面朝上或反面朝上，两者必居其一，且必发生其中之一.由于硬币是对称的几何体，所以出现正面与反面的可能性是相等的.例如掷一枚质量均匀的骰子，哪一面朝上有6种可能，每掷一次，6种点中至少出现一种，且至多出现一种.出现6种点中的任何一种点的可能性是相等的.例如一个袋子中装有10个完全相同的球.将球编号0~9，摇匀，从中任取一球.因为抽取每个球的机会均等，所以我们没有理由认为10个球中的某一个球

3、会比另一个更容易取到.此场合属于试验的均衡性，我们可以认为所有可能的结果（基本事件）是等可能的.例如A、B两地之间的电缆有一处断点.断点会出现在A、B两地之间电缆的任一点，可以认为出现在各点的可能性相同.例如转动一个自由转动的转盘，当转盘停止转动时，指针指向的位置会有无穷多个可能结果，并且它们是等可能的.例如水池中有一条游动的小鱼.如果我们某个时刻观测小鱼所在的位置，显然小鱼所在的位置会有无穷多种可能的结果，并且可以认为每个结果出现的机会都相同（不考虑水温、空气、重力等）.所以这个试验的结果有等可能性.但是不能认为所有

4、的试验每一可能的结果都有同等的发生机会.例如在适宜的条件下“种下一粒油菜种子观察它是否发芽”，这个试验有两种结果“发芽”与“不发芽”.根据经验，“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如某射手打靶试验，“中靶”与“脱靶”21数学随笔中学数学文摘2006年第4期一般不是等可能的.再如用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，而且这些结果也不具有等可能性.因此，认为在一次试验中每一可能的结果都有同等的发生机会，随机事件其本质应该是等可能的，是非常错误的.这是对等可能性的偏见.问题2一个事件发生的

5、概率会有两个不同的值吗？在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定地在某一个常数附近摆动，而且，试验次数越多，摆动越小，出现的机会越大.这个性质叫做频率的稳定性（大数定理给出了严格的理论证明）.这个常数就是事件A发生的概率.事实上，事件A发生的概率P（A）的精确值，即这个常数还是未知的，但是在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值.频率与概率是两个对立的概念，事件的概率是一个客观常数，事件的相对频率是一个与试验次数试验者都有关的一组摆动的变数.而概率统计定义是把频率的稳定值看作

6、概率的近似值，这是因为，频率值“远离”概率值的可能性永远存在，但这种可能性随试验次数增大，确实会越来越小（大数定理给出了严格的理论证明）.因此，频率由量变到达质变成为概率，反映了常量与变量的辩证统一.ABCDEO用概率的统一定义时，由于近似的不同概率会取不同的近似值，但一个事件发生的概率不会有两个不同的值.事件发生的概率是一个客观存在的数值，它反映了事件本身固有的属性，正如物体的长度、质量是物体的属性一样.问题3概率为零的事件是不可能事件吗？在如图1所示的正方形ABCD内任取一点O，将点O与A、B两点相连接，得，如果正

7、方形ABCD内每一点被取到的可能性都一样，分别求是钝角三角形和直角三角形的概率.设正方形ABCD对角线的交点为E，则“是钝角三角形”这个事件发生就相当于点O恰好落在以AB为直径的半圆内，所以P（是钝角三角形）=.同理，“是直角三角形”这个事件发生就相当于点O恰好在弧AEB上，所以P（是直角三角形）=.注意，这个例子中，“是直角三角形”这个事件发生的概率是0，但这并不意味着这个事件不会发生.我们只能说该事件发生的概率为0.所以，概率为0的事件不一定是不可能事件.21数学随笔中学数学文摘2006年第4期不可能事件的概率必为

8、零，反之却未必成立.当考虑的概型为古典概型时，概率为零的事件一定是不可能事件；当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件未必是一个不可能事件.由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件.问题4事件A发生的概率，则在相同条件下的次重复观测中，事件A一定发生次吗？一个篮球运动员投中篮的概率是0.8.虽然我们不能断定，他在10次投篮中必有