双曲线中焦点三角形的探索

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1、双曲线中焦点三角形的探索基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。2：该三角形中由余弦定理得结合定义，有性质一、设若双曲线方程为（＞0，＞0），F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：若则；特别地，当时，有。证明：记，由双曲线的定义得在△中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.特别地，当＝时，＝1，所以同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，公式仍然成立.例4若P是双曲线上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得：配方，得：40

2、0从而解法二：在双曲线中，，而考题欣赏（2010全国卷1理）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)【答案】B（2010全国卷1文）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos∠P=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：4性质一推论：在双曲线（＞0，＞0）中，左右焦点分别为、，当点P是双曲线左支上任意一点，若，则.特别地，当时，有。当点P是双曲线右支上任意一点，若（双曲线渐近线的倾斜角），则证明：i、当P为左支上一

3、点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。得证特别地，当＝时，ii、当P为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。得证例5（1）若P是双曲线左支上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.（2）若P是双曲线右支上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.（1）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得：解得：解法二：在双曲线中，，而（2）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得：解得：解法二：在双曲线中，，而性质二、双曲线的焦点三角形PF1F

4、2中，当点P在双曲线右支上时，有当点P在双曲线左支上时，有证明：由正弦定理知由等比定理，上式转化为分子分母同除以，得