与球有关的切、接问题(有答案)

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1、与球有关的切、接问题1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式V＝πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝a，CE＝a，则有R＋r＝a，R2－r2＝

2、CE

3、2＝，解得R＝a，r＝a.(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，

4、则

5、OJ

6、＝r＝(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则

7、GO

8、＝R＝a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则

9、A1O

10、＝R′＝a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(

11、l为长方体的体对角线长)．角度一：正四面体的内切球1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝6________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.角度二：直三棱柱的外接球2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)A．2　B．1C.D.解析：选C　由题意知，球心在侧面BCC1B

12、1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴2＋2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝×1＝.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2(R为球的半径

13、)，∴R＝，∴球的体积V＝πR3＝4π.答案：4π角度四：四棱锥的外接球4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，6底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A.B．16πC．9πD.解析：选A　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥PABCD中AB＝2，∴AO′＝.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A.[类题通法]“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先

14、要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[牛刀小试]1．(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于(　　)A．100π　B.C．25πD.解析：选A　易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S＝4πR2＝100π.2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的

15、体积为(　　)A.B．4πC．2πD.解析：选D　因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D.3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为(　　)A．3B.C．2D．2解析：选D　设正六棱柱的高为h，则可得()2＋＝32，解得h＝2.4．(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的体积为________．解析：设AC与BD相交于O，折起来后仍然有