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时间:2018-11-20
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1、2017年中考数学压轴题训练第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例1如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q
2、,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.图1思路点拨1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.满分解答(1)B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0,).(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,
3、PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.因此PD=PE.设点P的坐标为(x,x).如图3,联结OP.所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.解得.所以点P的坐标为().图2图3(3)由,得A(1,0),OA=1.①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.当,即时,△BQA∽△QOA.所以.解得.所以符合题意的点Q为().②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。因此△OCQ∽△QOA.当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=9
4、0°.所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4).图4图5考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.例2如图1,已知抛物线的方程C1:(m>0)与x轴交于点B、C
5、,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.图1思路点拨1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作∠CBF=∠EBC=
6、45°,或者作BF//EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程.满分解答(1)将M(2,2)代入,得.解得m=4.(2)当m=4时,.所以C(4,0),E(0,2).所以S△BCE=.(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.设对称轴与x轴的交点为P,那么.因此.解得.所以点H的坐标为.(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.设点F的坐
7、标为,由,得.解得x=m+2.所以F′(m+2,0).由,得.所以.由,得.整理,得0=16.此方程无解.图2图3图4②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.由,得.解得.综合①、②,符合题意的m为.考点伸展第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.例3直线分别交x轴、y轴于A、B两点,△
8、AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.(1)写出点A、B、C、D的坐标;(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1思路点拨1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于
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