多项式函数的图形及多项式不等式

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1、WORD格式可编辑2-4多項式函數的圖形與多項式不等式主題一多項式函數及其圖形1.由多項式所形成的函數﹐稱為多項式函數﹒2.當多項式的次數為時﹐稱為次多項式函數﹐簡稱n次函數﹔而常數多項式所決定的函數﹐稱為常數函數﹒例如﹕是三次函數﹔是常數函數﹒3.多項式函數的圖形﹕(1)常數函數及一次函數的圖形都是直線﹒(2)二次函數的圖形都是拋物線﹒(3)高次（三次或三次以上）函數的圖形都是連續不斷的曲線﹒（目前我們只能透過描點的方法﹐描出約略的圖形）4.多項式函數圖形的性質﹕(1)多項式函數的圖形都是連續不斷的﹒(2)對於次數不低於1次的多項式函數

2、﹐當首項係數為正數時﹐函數圖形的最右方是上升的﹔當首項係數為負數時﹐函數圖形的最右方是下降的﹒专业知识整理分享WORD格式可编辑　　　　例題1描繪三次函數的圖形﹒首先列出一些滿足的點如下﹕…012……0006…接著在坐標平面上﹐分別將上列各數對描點﹐再利用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖﹐即為的圖形﹐其中圖形與軸有三個交點﹐這三點的坐標分別為﹒多項式函數的圖形與方程式的根主題二1.多項式函數之圖形與軸交點的坐標﹐就是多項式方程式专业知识整理分享WORD格式可编辑的實根﹒2.多項式方程式的實根會呈現在函數的圖形上﹐而虛根是不會在圖形上出現

3、例題2(1)描繪四次函數的圖形﹐並指出圖形與軸交點的坐標﹒(2)解四次方程式﹒(1)利用描點的方法﹐可得函數的圖形如下﹐其中圖形與軸有三個交點﹐這三點的坐標分別為﹒(2)方程式的四個根為﹐其中為二重根﹒例題3已知三次函數的部分圖形如右﹐求的值﹒因為圖形與軸交於二點﹐且是三次函數﹐所以可設﹒又由圖形通過﹐可列得Þ﹒解得﹐即﹒故﹒专业知识整理分享WORD格式可编辑一次不等式主題三1.設是實係數次多項式﹐不等式﹕和都稱為次多項式不等式﹐簡稱n次不等式﹒2.當實數使得不等式成立時﹐實數稱為不等式的解﹒而「解不等式」就是要找出滿足該不等式的所有實數

4、解﹒3.一次不等式的解﹕(1)當時﹐解為﹒(2)當時﹐解為﹒例題4解不等式﹒由移項得﹐所以﹐解得﹒再由展開得Þ﹐移項得﹐所以﹒因為需同時滿足兩不等式﹐所以兩範圍取共同的部分﹐即﹒二次不等式主題四1.設為實數﹐且﹒(1)二次不等式的解為（兩數之間）﹒(2)二次不等式的解為或（兩數的兩邊）﹒专业知识整理分享WORD格式可编辑2.藉由二次方程式之判別式的正﹑負或零﹐可以幫助我們找出二次不等式的解﹕(1)例5為判別式的情形﹒(2)例6為判別式的情形﹒(3)例7為判別式的情形﹒例題5解下列二次不等式﹕（判別式的情形）(1)﹒(2)﹒(3)﹒(1)Þ

5、Þ﹒(2)ÞÞÞ或﹒(3)令﹐解得兩根為﹒因此﹐ÞÞ﹒例題6解二次不等式﹒（判別式的情形）因為﹐所以原不等式可改寫成﹒又因為對任一實數﹐當時﹐恆成立﹒故原不等式的解為除3外的一切實數﹒例題7专业知识整理分享WORD格式可编辑解下列二次不等式﹕（判別式的情形）(1)﹒(2)﹒(1)由配方法得﹒這不等式告訴我們﹕無論為任何實數﹐都不小於3（當然大於0）﹒故的解為全體實數﹒(2)由(1)的討論知無實數解﹒例題8求滿足不等式的整數解﹒由ÞÞ﹐得或﹒再由ÞÞ﹐得﹒兩不等式的解取共同部分﹐得或﹒故整數解為﹐﹐﹐﹒二次函數的恆正與恆負主題五1.二次不等

6、式恆成立Û且﹒2.二次不等式恆成立Û且﹒例題9設﹐若對任意實數﹐恆成立﹐求實數的範圍﹒因為恆成立﹐所以對任意實數﹐下列恆成立专业知识整理分享WORD格式可编辑Þ﹐又二次項係數﹐所以只要判別式即可﹐即﹐解得ÞÞÞ﹒主題六高次不等式高次不等式的解題原則﹕(1)先使多項式的領導係數為正﹒(2)再將多項式分解成實係數一次式或二次式的乘積﹒(3)將多項式方程式的實根標示在數線上﹐再依粗略的函數圖形﹐討論不等式的解﹒(4)畫函數圖形的原則﹕從右上方畫起﹐奇數次方變號（曲線穿過軸）﹐偶數次方不變號（曲線與軸相切）﹒例題10已知函數的圖形如右﹐求(1)不

7、等式的解﹒(2)不等式的解﹒(3)不等式的解﹒(4)不等式的解﹒由圖形上點之坐標的正負﹐可得各不等式的解為(1)或﹒(2)或﹒(3)或﹒(4)或﹒例題11解下列不等式﹕专业知识整理分享WORD格式可编辑(1)﹒(2)﹒　(3)﹒依「從右上方畫起﹐奇數次方變號﹐偶數次方不變號」的原則﹐畫出各函數的粗略圖形﹐討論不等式的解如下﹕(1)由上圖可得原不等式的解為或﹒(2)由上圖可得原不等式的解為或或﹒(3)由上圖可得原不等式的解為或﹒例題12試問不等式有幾個整數解﹒將原式改寫為﹒設函數﹒函數的略圖如下﹕故原不等式的解為或﹒因此的整數解為共17個﹒

8、专业知识整理分享WORD格式可编辑例題13設實係數函數﹐且﹒求(1)的值﹒(2)滿足之實數的範圍﹒(1)因為為實係數方程式的一根﹐所以也是方程式的一根﹐推得及都是的因式﹒因此可被整除﹒利用長除