D数学矩阵更多知识(自动保存).docx

《D数学矩阵更多知识(自动保存).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、3D数学----矩阵的更多知识（2）收藏矩阵的逆另外一种重要的矩阵运算是矩阵的求逆，这个运算只能用于方阵。 运算法则方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。表示为公式9.6的形式：并非所有的矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为0，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0

2、。M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面是一个例子，考虑前面给出的3x3阶矩阵M：计算M的代数余子式矩阵：M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。其表示如公式9.7所示：例如为了求得上面矩阵的逆，有：当然还有其他方法可以用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法。很多线性代数书都断定该方法更适合在计算机上实现，因为它所使用的代数运算较少，这种说法其实是不正确的。对于大矩阵或某些特殊矩阵来说，这也许是对的。然而，对于低阶矩阵，比如几何应用中常见的那些低阶矩阵，标准伴随矩阵可能更快一些。

3、因为可以为标准伴随矩阵提供无分支（branchless）实现，这种实现方法在当今的超标量体系结构和专用向量处理器上会更快一些。矩阵的逆的重要性质： 几何解释矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换----能”撤销“原变换的变换。所以，如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证：矩阵的行列式在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。 线性运算法则方阵M的行列式记作

4、M

5、或“detM”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。nxn阶矩阵的行列式定义非常复杂，让我们先从2x2，3x3矩阵开

6、始。公式9.1给出了2x2阶矩阵行列式的定义：注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。下面的示意图能帮助记忆公式9.1，将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。3x3阶矩阵的行列式定义如公式9.2所示：可以用类似的示意图来帮助记忆。把矩阵M连写两遍，将主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。如果将3x3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”。假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。

7、显然，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式，见公式9.3：如上，用记法cij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。代数余子式计算式中的项(–1)(i+j)有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果：n维方阵的行列式存在着多个相等的定义，我们可以用代数余子式来定义矩阵的行列式（这种定义是递归的，因为代数余子式本身的定义就用到了矩阵的行列式）。首先，从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就

8、是矩阵的行列式。例如，任意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示：下面举一个例子，重写3x3矩阵的行列式：综上，可导出4x4矩阵的行列式：高阶行列式计算的复杂性是呈指数递增的。幸运的是，有一种称作”主元选择“的计算方法，它不影响行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一个元素（主元）外其他元素全为0，这样仅一个代数余子式需要计算。行列式的一些重要性质：（1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：

9、AB

10、=

11、A

12、

13、B

14、       这可以扩展到多个矩阵： 

15、M1M2...Mn

16、=

17、M1

18、

19、M2

20、...

21、Mn-1

22、

23、Mn

24、（2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：

25、MT

26、

27、=

28、M

29、（3）如果矩阵的任意行或列全为0，那么它的行列式等于0.（4）交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。（5）任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的积。 几何解释矩阵的行列式有着非常有趣的几何解释。2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变负。3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号的体积。3D中，如果变换使得平行六面体”有里向外“翻转，则行列式变负。行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行