浮点数表示及运算

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1、计算机组成原理Sunday,July18,2021浮点数表示及运算一、浮点数的表示N=Re×m=2E×M=2±e×(±m)E0E1E2………EmM0M1M2………Mn尾数值阶值阶符尾符9×10－28=0.9×10-272×1033=0.2×1034任意一个十进制数Ｎ可以写成Ｎ=10E·×Ｍ（十进制表示）计算机中一个任意进制数Ｎ可以写成m：尾数，是一个纯小数。e：浮点的指数,是一个整数。R：基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定Ｒ为2，8或16浮点数的表示范围负上溢-+负数正数0正上溢负下溢正下溢N=2E×M

2、N

3、→∞产生正上溢或者负上溢

4、N

5、→0产生正下溢或者负下溢尾

6、数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：最大正数最小正数最小负数最大负数8位定点小数可表示的范围0.0000001---0.11111111/128---127/128设阶码2位，尾数4位可表示2-11*0.0001---211*0.11110.0000001---111.1设阶码3位，尾数3位可表示2-111*0.001---2111*0.1110.0000000001---1110000机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低浮点

7、数表示范围比定点数大，精度高一个浮点数有不同的表示：0.5；0.05101；0.005102；5010-2为提高数据的表示精度，需做规格化处理。浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。二、浮点数规格化把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须>=1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：0.1000101010规格化目的：为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数

8、为R进制的规格化：绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式：正数0.1xxxxxx负数1.0xxxxxx正数0.1xxxxxx负数1.1xxxxxx补码尾数的规格化的表现形式：尾数的最高位与符号位相反。解：12310=11110112=0.11110110002×27[7]移=10000+00111=10111[0.1111011000]补=0.1111011000[123]浮=1011101111011000=BBD8H例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。S——尾数符号，0正1负；M——尾数,

9、纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。采用原码表示。E——阶码，采用“移码”表示（移码可表示阶符）;阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。SEM31302322032位SEM63625251064位为便于软件移植，使用IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754标准：尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。三、浮点数的标准格式IEEE754规格化浮点数的真值x=(-1)s(1.Ｍ)2Ｅ－127e=Ｅ–127一个规格化的32位浮点数ｘ的真值为：SEM31302322032位浮点数格式：x=(–1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为：这里

10、e是真值，Ｅ是机器数1.隐藏位技术2.阶码用“移码”偏移值127而不是128Emin=1,Emax=254/2046原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位数能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。例：若浮点数x的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。解：0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000数符：0阶码：1000,0010尾数：011,011

11、0,0000,0000,0000,0000指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数：1.M＝1.01101100000000000000000＝1.011011于是有x＝(－1)s×1.M×2e＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10例:将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375＝10100.10011然